Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
1. Различные постановки нестационарных задач N тел
343
1. Различные постановки нестационарных задач N тел
Систематическому исследованию нестационарных задач посвящены работы (Беркович, Гельфгат [66], Омаров [200]). Достаточно общую постановку получим, рассматривая задачу N тел переменной массы, взаимодействия между каждыми парами которых пропорциональны произведениям соответствующих «гравитационных зарядов» и некоторой степени расстояния между ними. Уравнения движения такой системы могут быть записаны в виде
/ п S=I г,j=l rij
где г і = {?,i, Vi j Ci} — радиусы-векторы компонентов системы в абсолютной системе координат, (t) = \fGrtii8(t)\[GrrijS(t),G — гравитационная постоянная, и mJS — массы компонентов соответствующих пар.
Так как показатели степеней kijS могут быть различными как для каждой пары точек, так и для величин гц и rji, то указанная постановка позволяет также рассматривать динамические системы, для которых несправедлив третий закон Ньютона (см. Douboshine [297, 298]). Частный случай (1) см. в работе (Склянский [219]).
Более общую постановку получим, если учитывать, что на каждую точку действуют также силы, аналогичные силам релеевского трения и гу-ковской упругой силе (протяженное облако диффузной материи). При этом уравнения движения принимают вид
In ^
T1 + ал{€)и + агоО)гг = - ? ? ?ijs{t) 2кЦ+2 - * + J- (2)
S=1 «.J=I rij
Дальнейшее обобщение получим, если взаимодействие между телами-точками определяется весьма произвольным законом, охватывающим, например, закон Вебера
л=^(1-4+?' (з)
Г (T (T
'г г г
где (Tj — скорость распространения действия (притяжения или отталкивания), закон Гербера
344
Глава 6
а также другие законы, а именно, встречающиеся в уравнениях
гі + ац(і)гі +ai0(i)Yi = -Fi(t,ri,fi,ri)ri -^1(*,^,^,^)^-
п п
- Y '••/•''¦•/•''-^"'U - Y фчі(*'г'л^.r\j)vij, (4)
г,І=1 i,j=l
где Fi, Fii, ^iji — произвольные функции своих аргументов, линейные относительно ii, г%.
Большинство известных постановок нестационарной задачи N тел являются специальными случаями нестационарных схем (1), (2) и, тем более, (4) (см., например, Tisserand [408], Дубошин [114-116], Douboshine [297, 298], Беркович, Гельфгат [66], Омаров [200]). Отметим, что постановки (2), (4) учитывают, что динамическое взаимодействие материальных тел не ограничивается лишь гравитацией. Зависимость силы от скорости и ускорения означает определенное отклонение от классической механической картины мира, предполагающей зависимость сил от расстояния между взаимодействующими объектами.
2. Различные постановки нестационарной задачи двух тел
Систематическое исследование задачи двух тел переменной массы было начато Г. Н. Дубошиным еще в 1925 г. Трудности исследования нестационарных задач небесной механики проявляются уже в простейшем случае задачи двух тел. Одна из них заключается в том, что в отличие от классической ситуации с постоянными массами здесь возможно множество постановок. Это вызвано тем, что характер реактивных сил, появляющихся вследствие изменения компонентов системы, может быть весьма разнообразным. Но каждой математической постановке соответствует некоторое число физических постановок (см., например, Разбитная [207]).
2.1. Задача Гильдена-Мещерского (ГМ)
Одной из наиболее известных в небесной механике является нестационарная задача TM (Gylden [317], Meshchersky [368]), которая используется для описания эволюции двойных звезд при вековой потере массы за счет фотонной и корпускулярной активности. Задача TM служит также математической моделью для различных случаев динамики тел переменной массы, когда их ньютоновское взаимодействие значительно превосходит реактивные силы или когда имеется возмущающая сила типа «трения», компенсирующая реактивные силы, а также в ряде других случаев (см. Беркович [36, 39]).
2. Различные постановки нестационарной задачи двух тел
345
Речь идет об уравнении движения вида
T=-»{t)±, (1)
где г = (х, у) — радиус-вектор относительного движения одной материальной точки относительно другой в плоскости орбиты, г = |г|, ?(t) — некоторая функция времени. Отметим, что к этому же уравнению приводит и космогоническая гипотеза Дирака о вековом изменении гравитационной постоянной (Dirac [295], см. также Vinti [414], Saari [394]).
2.2. Задача Мещерского-Леви-Чивиты (МЛЧ)
В задаче МЛЧ (см. Мещерский [180], Levi-Civita [346]) рассматривается движение точки с малой переменной массой m(t) (спутник) вокруг гравитирующего центра постоянной массы /і под воздействием реактивной силы, которая пропорциональна как скорости спутника, так и скорости изменения его массы. Уравнение относительного движения имеет вид
г = - Щ^-, ? = const. (2)
2.3. Обобщение задачи Мещерского - Леви-Чивиты
В работе (Лапин [162]) рассматривается обобщение задачи МЛЧ. Оно состоит в том, что переменной величиной является не только масса m(t) спутника, но и масса центрального тела, т. е. /і(і), которая изменяется изотропно. Уравнение относительного движения таково:
