Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
4. Для системы Лотка-Вольтерра 3-го порядка
X = х(Су + z + X) у = у(х + Az + ц) z = z(Bx + у + v)
нахождение первых интегралов, использующее теорему Фробениуса, последний множитель Якоби и тест Ковалевской-Пенлеве, рассматривалось в работе (Grammatikos, Moulin-Ollagnier, Ramani, Strelcyn, Wojciechowski [315]). Заметим, что общую систему 3-го порядка с квадратичными правыми частями, рассмотрела С. Ковалевская [147] (см. её письмо к Mittag-Leffler от 28 декабря 1884 г.). Для системы
X = х(ах + by + cz) у = у{а\х + Ъху + C1Z)
Z = Z(CL2X + Ъ2у + C2Z)
она нашла интегрируемый случай:
а\ = а2 = —а, Ь\ = —Ъ, Ъ2 = Ъ, с\ = с, C2 = —с.
338
Примечания к гл. 5
5. В работе (Mahomed, Leach [365]) также отмечалось, что уравнение (3.1) допускает алгебру Ли s/[3, R].
6. Различные способы линеаризации нелинейных автономных уравнений, встречающихся в технических приложениях, рассматривались Маги-росом (Magiros [364]). Н. Г. Бондарь [89], используя т. н. метод переменного масштаба, рассмотрел некоторые задачи, связанные с нелинейными стационарными колебаниями, а также нелинейными автономными системами строительной механики, описываемыми частными случаями уравнений х + + J[X)X2 + ф(х) = f(t), X + ip(x)x + ф(х) = f(t).
7. Другой подход к линеаризации указан в работе (Sarlet, Mahomed, Leach [396]). Линеаризации точечными преобразованиями рассматривались, например, в работах (Картан [143], Дрюма [113]). Однако точечные преобразования в общем виде в нашей работе почти не применяются. (Исключение представляет теорема 1.1, а также использование преобразования КЛ.) Рассмотрение их привело бы к дальнейшему увеличению объёма работы. Поэтому исследования Тресса (см. Tresse [408, 409]) и других авторов не затронуты.
8. Частичная линеаризация уравнения Лэнгмюра вида
Ъуу" + у'2 + 4уу' + у2 = 1 подстановкой у = У3/4 приводит к полулинейному уравнению
(D + |)2У - ^Y-1'2 = 0, D = d/dx, о а
не допускающему точечные симметрии, отличные от трансляции д/дх (см. Inselberg [327]).
9. Различные подходы к интегрируемым динамическим системам применялись в работах (Дубровин, Кричевер, Новиков [119], Козлов [148-151]). А в связи с задачами механики и другими приложениями МТЛ применялся в работах (Беркович [28, 37], Беркович, Нечаевский [68, 70]) и др.
10. Новое в подходе A.M. Обухова состояло в том, что с помощью галёркинской аппроксимации уравнений гидродинамики однородной жидкости удаётся выделить широкий класс динамических систем, т. н. СГТ, которые могут претендовать на описание различных гидродинамических процессов (см. Обухов [193], Раздел 5. Теория и применение систем гидродинамического типа, с. 298-365, а также комментарии Ф. В. Должанского [112] (см. [193], с. 399^103)).
11. Заметим, что Liouville R. [358] нашел инварианты для некоторых нелинейных ОДУ, а К. С. Сибирский [217, 218] построил инварианты для некоторых систем нелинейных уравнений 1-го порядка со степенными нелинейно стями.
Примечания к гл. 5
339
12. Исследованием степенного преобразования для алгебраических дифференциальных уравнений занимался Брюно А. Д. (см. Брюно [92-94], Bruno [283]).
13. Принцип линейной суперпозиции для ЛОДУ или систем таких уравнений означает, что общее решение можно представить в виде линейной комбинации частных решений. В частности, теория линейного уравнения Шрёдингера основывается на этом принципе. Ограничивается ли указанное свойство только линейными уравнениями? Или оно может быть обобщено некоторыми методами и распространено на нелинейные уравнения? Эти вопросы с неизбежностью встали перед математиками, пытавшимися построить теорию интегрируемости ОДУ. К 1893 г. С. Ли (Lie [351]) и Е. Вессио (Vessiot [412]) сформулировали задачу следующим образом.
Пусть дана система ОДУ первого порядка:
^=Tl[VL1I)1 ИЛИ^=7Г*(и,і), 1<*<П, (1)
здесь U1Tj Є Rn или Сп.
Вопрос: Каковы должны быть условия, чтобы представить общее решение этой системы как нелинейную функцию F (конкретную или произвольную) от то частных решений
U1[I)1U2[I)1-¦¦ ,um(t) (2)
и достаточного числа п произвольных постоянных C11C2,- ¦ ¦ , Cn:
u(t) = F(ui(i),u2(i))-" 1um(t);c1,c2,... ,Cn) ? (3)
Решение этой задачи дается следующей теоремой.
Теорема 1 (S. Lie [351]). Система уравнений (1) имеет фундаментальное систему (множество) решений (2), так что общее решение дает принцип^ нелинейной суперпозиции (ПНС) (3), если и только если следующие условия выполняются:
1) Правая часть (1), возможно после преобразования, может быть факторизована как
^ = Z1(I)^1(U) + Z2(t)b(u) + ¦¦¦ + Zr(t)?r(u). 2) Векторные поля
п
S=I
11 Закон, правило, формула.
340
Примечания к гл. 5
порождают конечномерную алгебру Ли
г
[Xa,Xb]=Y,CcabXc, КоДс^г.
C=I
3) Число т решений в фундаментальной системе (2) удовлетворяет неравенству
п ¦ т ^ г.
Пример 1. Уравнение Риккати. Принцип суперпозиции для уравнения Риккати хорошо известен. А именно: любые четыре его решения удовлетворяют свойству, что их ангармоническое отношение является с = const.
