Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Ъ = 1, р = 0, c = B-F, q = -B, a=jj, C = B(B - F).
3) Если в уравнении (6) положить E = —А, В ф 2F, В ф F, то оно примет вид
у" + 2у3 -By2-Су-D + Ауу' - Fy' = О, которое допускает факторизацию (4), где
Ъ = 1, р = 2, а = 2р°~в, C = F-В, q = B-2F при условии
2D+ {В- F)(B - 2F)2 - C(B - 2F) = 0.
4) Пусть A= -2, E = -A, B = F. Уравнение
у" + 2у3 -By2-Су-D + Ауу' -By' = 0 допускает факторизацию (4), где
Ь = 1, р = 2, с = 0, а = -С/2, q = -B
и выполняется условие ВС + 2D = 0.
5) Пусть E =-A, A =-2, B = 2F, D = O. Уравнение
у" + 2у3 - By2 -Су + Ауу' - 1/2By' = 0 допускает факторизацию (4), где
6 = 1, р =2, с= -lB, q = 0, а = -|с.
6i) Пусть A = -1, E = -3, B = F. Уравнение
у" + у3-By2-Су-D + Зуу' -By' = 0 (7)
11. Об уравнении, рассматривавшемся Миттаг-Леффлером 325
допускает факторизацию (4), где
ь= \, P = 2, а =-±с-±в2, с =-Jb, ч = -\в
при условии
27D+ 9BC + 2B3 = 0.
62) Миттаг-Леффлер показал, что уравнение (7) подстановкой у = z'/z линеаризуется в уравнение третьего порядка
z"' - Bz" - Cz' -Dz = O.
63) Уравнение (7) допускает также факторизацию (4), где
6 = 1, р = 1, a = —^D, с = —В — q,
a q удовлетворяет уравнению третьей степени
q3 + Bq2 - Cq + D = 0. 7i) Пусть E = -6, A =-A, B = 2F. Уравнение
у" + 4у3 -By2-Су-D + буу' - \Ву' = 0 (8)
допускает факторизацию (4), где
Ь = 1, р = А, с = -Q = ~\В-> а = 3Jf
и выполняется соотношение
В3 + 18BC + 216D = 0.
7г) Уравнение (8) можно факторизовать также иначе. А именно оно допускает факторизацию (4), где
р = 2, 6 = 2, q = -J? -с, a = ^2^, (с ф ~\в), а с удовлетворяет уравнению
с3 + Be? + [Jb2 - с)с - Jbc -2D = o.
326 Глава 5
8) Пусть A = E+ 2, F = B, E ф -2. Уравнение
у" - Еуу' - By' -(E + 2)у3 -By2-Су-D = O допускает факторизацию (4), где
Ь = 1, р = -(E + 2), с = 0, q = -В, а = при выполнении условия
D(E + 2) = ВС.
Миттаг-Леффлер рассмотрел следующие конкретные примеры, относящиеся к этому случаю. Уравнение
У" + УУ' - Щу' + У2) - У3 + 72h2y + 5 • 72?3 = О допускает факторизацию (d/dx — у — ЪК)(у' — 72h2 + у2) = 0; уравнение
У" + УУ' -У3- Щу' + У2) + h2y + 5?3 = 0 допускает факторизацию (d/dx — у — ЪК)(у' — h? + у2) = 0, а уравнение
у" + уу' -у3 -Cy = O
допускает факторизацию (d/dx — у)(y' + С + у2) = 0.
Заметим, что последнее уравнение рассматривалось также Пенлеве (см. Painleve [379], с. 54, уравнение (8); Камке [139], N 6.31).
9i). Пусть E = -2, A = O, В ф 2F. Уравнение
у" -By2-Су-D + (2у - F)y' = 0 (9)
допускает факторизацию (4), если
6 = 0,^ = 2, с=АВ, q = -F+ \В, a=-1?--
и выполняется условие
AD + ^B(B - 2F)2 = C(B - 2F).
92) Уравнение вида
у" + 2уу' = В(у' + у2) + D,
как заметил ещё Миттаг-Леффлер, может быть проинтегрировано с помощью подстановки z = у' + у2.
11. Об уравнении, рассматривавшемся Миттаг-Леффлером 327
z = j V'Ay4j'4 + Sy3/3 + Су2/2 + Dydy,
dt = лу3 + ву2 + су + 1) dx
2^/Ay4/A + By3/3 + Су2/2 + Dy
линеаризуется:
z-2z = 0.
9з) Уравнение (9) допускает факторизацию (4), если
р = 0, 6=1, с = q = -В, а =
10) Уравнение (см. Камке [139], N 6.40)
у" - Ъуу' - (Зау2 + 4а2у + Ъ) = 0 подстановкой у' — 3/2у2 — 2ау = z приводится к линейному уравнению
z1 + 2az = Ъ.
Заметим, что к уравнению (1) может быть применён также метод точной линеаризации:
Предложение 2. 1) Уравнение (1) нелинейным преобразованием
Z = Ey2 + 2Fy, dt = (Ey + F)dx
приводится к линейному виду
2 +і- 2А/Е2 - 2D/F = 0,ЕфО, F^O,
если выполняются условия
А = 1E2, В = ZAFIE, 2AF2JE2 + DE/F = С.
2) Уравнение
у" = Еуу' + Ay3+ Cy = 0 приводится к линейному виду
z - Ez - 2Az - 2С = 0
преобразованием
z = у2, dt = ydx.
3) Уравнение
у" = Ay3 + By2+ Cy+ D
преобразованием
328
Глава 5
12. О некоторых специальных нелинейных уравнениях
В настоящем параграфе рассматриваются уравнения, играющие определённую роль как в приложениях, так и в теории дифференциальных уравнений.
12.1. Об уравнениях, описывающих некоторые ангармонические осцилляторы
Рассмотрим уравнение
У" + hy' + boy + Ъуп = 0. (1)
Предложение 1. Уравнение (1) имеет однопараметрическое семейство элементарных решений (помимо случая Ь\ =0), когда выполняется условие факторизуемости:
(п + 3)Ч0 = 2(п + l)bl (2)
• В самом деле, (1) допускает факторизацию
(D-T2- Wn"1)/2)(? -ri- W"-1)/2)2/ = 0, D = (3)
где
г, h п+1 , ,/26, п+1,
П = r2 = -—П, h = ї^-т-рг, k2 = - — Zc1,
что соответствует (2). Оно имеет однопараметрическое семейство решений
2
У = (^-+ Ci ехр(-Г1^2 , C1 - параметр.
Случай п = 3 был рассмотрен в работе (N. Euler, Steeb, Curus [303]) с использованием теста Пенлеве. Уравнения этого класса можно представить в виде
y" + biy' + ^bty + by3 = 0. (4)
Факторизация (3) примет вид
(D-T2 - k2y)(D -п- kiy)y = 0,
где T1 = -6i/3, T2 = -26i/3, fci = ±y/-b/2, k2 = +2^J-bj2.
12. О некоторых специальных нелинейных уравнениях 329
Однопараметрическое семейство решений имеет вид
