Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
320
Глава 5
Преобразование Бэклунда (13) в соответствии с (18) будет иметь вид
J = ~y~2 JCi1(V)VcIy+^+су-2+ ^. (20)
Пример 1. Рассмотрим уравнение
у" + ту™-2у1 + у2™-3 + (Ъ0 - Ъ2/А)у = 0. (21)
Оно соответствует уравнениям (14), (19), а, следовательно, также (16), (18) при с = 0.
Преобразование Бэклунда для (20) примеет вид
1/=-У™-1 + (Ьі + І)У. В частности, для т = 3 (см. также пример 3.1 и замечание 3.1) имеем:
у" + 3уу' + у3 ее (D + y)(D + y)y = 0. (22)
Подстановка
У' , z'
J = -y+Y
приводит (22) к уравнению z" = 0 с общим решением z = с\х + с2. А общее решение уравнения (22) есть в то же время общее решение уравнения Бернулли
/ Cl 2
V = -:-V — У .
У ClX + C2
Легко находим общее решение уравнения (22). Его можно представить в виде
2сі(сіж + с2) 2х + а
У = -Г5-> или У = ~~-•
(с\х + C2) + 2сіс X + ах + Ъ
11. Об уравнении, рассматривавшемся Миттаг-Леффлером
Речь пойдёт об уравнении вида
у" = Ay3 + By2 + Cy + D + (Ey + F)y', А, В, С, D1E1F = const, (1)
для которого Миттаг-Леффлер (см. Mittag-Leffler [370]) нашёл некоторые интегрируемые случаи. При этом им был использован т. н. тест Пенлеве.
11. Об уравнении, рассматривавшемся Миттаг-Леффлером 321
В настоящем параграфе результаты Миттаг-Леффлера передоказаны, а также получены новые случаи интегрируемости. Для этого были использованы методы факторизации и точной линеаризации. Особенно важно подчеркнуть, что были получены одно параметрические семейства (т. е. зависящие от одной произвольной постоянной) элементарных частных решений. К уравнению (1) приводит, в частности, динамическая система вида
Г X = ai + а2у + а,3х2, /„ч
{ y = b1+b2y + b3xy. { >
Действительно, исключив переменную у из (2), придём к ОДУ 2-го порядка
? + a3b3xz + а\Ъ3х + а3Ъ2х2 + а\Ъ2 — а2Ъ\ — х(Ъ2 + Ъ3х) = О вида (1).
Предложение 1. Для того чтобы уравнение (Y) имело однопарамет-рическое семейство элементарных решений, удовлетворяющих уравнению Риккати с постоянными коэффициентами
у' + а + Ъу2 + су = 0, (3)
достаточно, чтобы оно допускало следующую факторизацию:
(j-+py + q)(y'+a + by2 + cy) = Q, (А)
где a,b,c,p,q = const находятся из следующей системы алгебраических уравнений
2Ъ+р = —Е, pb = —A, c+q = —F, pc+bq = —В, pa + cq = —С, aq = —D.
(5)
• Доказывается непосредственно. •
Замечание 1. При а = 0 уравнение Риккати (3) превращается в уравнение Бернулли с постоянными коэффициентами, называемое логистическим уравнением
у1 + by2 + су = 0. (5')
Отметим, что простейшая модель рыболовства
у' = у-у2-с, (3')
где с характеризует некоторую квоту на отлов части популяции (см. Арнольд [7, 8]), относится к классу (3).
322
Глава 5
Для нахождения конкретных случаев интегрируемости поступим следующим образом. Рассмотрим подсистему системы (5): 2b + р = —E1 pb = = —А, где Ъ, р удовлетворяют квадратному уравнению г2 + Er — 2А = 0. Потребовав, чтобы его дискриминант E2 + 8а был полным квадратом, получим А = E + 2.
Далее мы производим классификацию интегрируемых случаев.
Ii) Пусть A = E+ 2, E ф -З, В + F(E + 2) ф 0.
Уравнение
у" -(E + 2)у3 -By2-Су-D- (Ey + F)y' = 0 (6)
допускает факторизацию (4), где
, л S-F B + F(E + 2) D(E + 3)
b = hP=-(E+2)lC = —iq =--__,« = ___,
и выполняется условие
(E + 3)(E + 2)D (В -F)[B + F(E + 2)] _ В+ F(E+ 2) + (E + 3)2
Миттаг-Леффлер исследовал уравнение
у" - 2у3 - Cy - D - Fy' = 0, (6')
относящееся к классу (6). Оно допускает факторизацию (4), где имеют место соотношения
Ъ = 1, P = -2, с = -^F1 q = а=\у
и выполняется условие
21D - 2F3 - 9CF = 0. К классу (6) относится также уравнение
у" + (у + За)у' -у3 + ау2 + 2а2у = 0, (6")
исследовавшееся Пенлеве (см. Painleve, [379], с. 54, уравнение (7); Камке [139], N 6.32). Оно допускает факторизацию
(?-у + 2а)(у' + у2 + ау) = 0.
11. Об уравнении, рассматривавшемся Миттаг-Леффлером 323
E + 6 ' 2(B-2FY
и выполняется условие
l>(? + 6) 2(s -2F)[F(E + 2) +2s]
s-2f (S+ 6)2
С.
Заметим, что уравнение (6') допускает также факторизацию (4), где имеют место соотношения
6 = -1, р = 2, c = -|f, g = -|f, а = ff и выполняется условие
27s + 2f3 + 9cf = 0. А уравнение (6") допускает также факторизацию
(?+2у + 2а)(у'-1/2у2 + ау) = 0.
Уравнение (6'") допускает факторизацию (4), если выполняется условие
653 + 25sc + 125D = 0;
при этом
Ь = -|, р = 2, c=-|s, « = -§?, « = -^(c+^s2).
К классу (6) относится и уравнение
У" = y3-yy' + B(y' + y2) + Cy + D. (6'")
Факторизация (4) имеет место, если ВС = D; при этом
6 = 1, р = -1, с = 0, q = -В, а = С.
I2) Пусть А = E + 2, E ф -6, В ф 2F. Уравнение (6) допускает факторизацию (4), где
1, ^ F(E+ 2)+ 2B
2(B-2F) D(E + 6)
q = —^—т,—, а
324 Глава 5
2) Если в уравнении (6) положить А = 0 и, следовательно, E = — 2, то уравнение (6) примет вид
у" -By2-Су-D- (-2у + F)y' = О,
которое допускает факторизацию (4), где