Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Беркович Л.М. -> "Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений" -> 87

Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.

Беркович Л. М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений — Москва: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 464 c.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка): faktorizachiya-i-preobarazovaniya-differencial.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 130 >> Следующая


320

Глава 5

Преобразование Бэклунда (13) в соответствии с (18) будет иметь вид

J = ~y~2 JCi1(V)VcIy+^+су-2+ ^. (20)

Пример 1. Рассмотрим уравнение

у" + ту™-2у1 + у2™-3 + (Ъ0 - Ъ2/А)у = 0. (21)

Оно соответствует уравнениям (14), (19), а, следовательно, также (16), (18) при с = 0.

Преобразование Бэклунда для (20) примеет вид

1/=-У™-1 + (Ьі + І)У. В частности, для т = 3 (см. также пример 3.1 и замечание 3.1) имеем:

у" + 3уу' + у3 ее (D + y)(D + y)y = 0. (22)

Подстановка

У' , z'

J = -y+Y

приводит (22) к уравнению z" = 0 с общим решением z = с\х + с2. А общее решение уравнения (22) есть в то же время общее решение уравнения Бернулли

/ Cl 2

V = -:-V — У .

У ClX + C2

Легко находим общее решение уравнения (22). Его можно представить в виде

2сі(сіж + с2) 2х + а

У = -Г5-> или У = ~~-•

(с\х + C2) + 2сіс X + ах + Ъ

11. Об уравнении, рассматривавшемся Миттаг-Леффлером

Речь пойдёт об уравнении вида

у" = Ay3 + By2 + Cy + D + (Ey + F)y', А, В, С, D1E1F = const, (1)

для которого Миттаг-Леффлер (см. Mittag-Leffler [370]) нашёл некоторые интегрируемые случаи. При этом им был использован т. н. тест Пенлеве.

11. Об уравнении, рассматривавшемся Миттаг-Леффлером 321

В настоящем параграфе результаты Миттаг-Леффлера передоказаны, а также получены новые случаи интегрируемости. Для этого были использованы методы факторизации и точной линеаризации. Особенно важно подчеркнуть, что были получены одно параметрические семейства (т. е. зависящие от одной произвольной постоянной) элементарных частных решений. К уравнению (1) приводит, в частности, динамическая система вида

Г X = ai + а2у + а,3х2, /„ч

{ y = b1+b2y + b3xy. { >

Действительно, исключив переменную у из (2), придём к ОДУ 2-го порядка

? + a3b3xz + а\Ъ3х + а3Ъ2х2 + а\Ъ2 — а2Ъ\ — х(Ъ2 + Ъ3х) = О вида (1).

Предложение 1. Для того чтобы уравнение (Y) имело однопарамет-рическое семейство элементарных решений, удовлетворяющих уравнению Риккати с постоянными коэффициентами

у' + а + Ъу2 + су = 0, (3)

достаточно, чтобы оно допускало следующую факторизацию:

(j-+py + q)(y'+a + by2 + cy) = Q, (А)

где a,b,c,p,q = const находятся из следующей системы алгебраических уравнений

2Ъ+р = —Е, pb = —A, c+q = —F, pc+bq = —В, pa + cq = —С, aq = —D.

(5)

• Доказывается непосредственно. •

Замечание 1. При а = 0 уравнение Риккати (3) превращается в уравнение Бернулли с постоянными коэффициентами, называемое логистическим уравнением

у1 + by2 + су = 0. (5')

Отметим, что простейшая модель рыболовства

у' = у-у2-с, (3')

где с характеризует некоторую квоту на отлов части популяции (см. Арнольд [7, 8]), относится к классу (3).

322

Глава 5

Для нахождения конкретных случаев интегрируемости поступим следующим образом. Рассмотрим подсистему системы (5): 2b + р = —E1 pb = = —А, где Ъ, р удовлетворяют квадратному уравнению г2 + Er — 2А = 0. Потребовав, чтобы его дискриминант E2 + 8а был полным квадратом, получим А = E + 2.

Далее мы производим классификацию интегрируемых случаев.

Ii) Пусть A = E+ 2, E ф -З, В + F(E + 2) ф 0.

Уравнение

у" -(E + 2)у3 -By2-Су-D- (Ey + F)y' = 0 (6)

допускает факторизацию (4), где

, л S-F B + F(E + 2) D(E + 3)

b = hP=-(E+2)lC = —iq =--__,« = ___,

и выполняется условие

(E + 3)(E + 2)D (В -F)[B + F(E + 2)] _ В+ F(E+ 2) + (E + 3)2

Миттаг-Леффлер исследовал уравнение

у" - 2у3 - Cy - D - Fy' = 0, (6')

относящееся к классу (6). Оно допускает факторизацию (4), где имеют место соотношения

Ъ = 1, P = -2, с = -^F1 q = а=\у

и выполняется условие

21D - 2F3 - 9CF = 0. К классу (6) относится также уравнение

у" + (у + За)у' -у3 + ау2 + 2а2у = 0, (6")

исследовавшееся Пенлеве (см. Painleve, [379], с. 54, уравнение (7); Камке [139], N 6.32). Оно допускает факторизацию

(?-у + 2а)(у' + у2 + ау) = 0.

11. Об уравнении, рассматривавшемся Миттаг-Леффлером 323

E + 6 ' 2(B-2FY

и выполняется условие

l>(? + 6) 2(s -2F)[F(E + 2) +2s]

s-2f (S+ 6)2

С.

Заметим, что уравнение (6') допускает также факторизацию (4), где имеют место соотношения

6 = -1, р = 2, c = -|f, g = -|f, а = ff и выполняется условие

27s + 2f3 + 9cf = 0. А уравнение (6") допускает также факторизацию

(?+2у + 2а)(у'-1/2у2 + ау) = 0.

Уравнение (6'") допускает факторизацию (4), если выполняется условие

653 + 25sc + 125D = 0;

при этом

Ь = -|, р = 2, c=-|s, « = -§?, « = -^(c+^s2).

К классу (6) относится и уравнение

У" = y3-yy' + B(y' + y2) + Cy + D. (6'")

Факторизация (4) имеет место, если ВС = D; при этом

6 = 1, р = -1, с = 0, q = -В, а = С.

I2) Пусть А = E + 2, E ф -6, В ф 2F. Уравнение (6) допускает факторизацию (4), где

1, ^ F(E+ 2)+ 2B

2(B-2F) D(E + 6)

q = —^—т,—, а

324 Глава 5

2) Если в уравнении (6) положить А = 0 и, следовательно, E = — 2, то уравнение (6) примет вид

у" -By2-Су-D- (-2у + F)y' = О,

которое допускает факторизацию (4), где
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 130 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed