Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Беркович Л.М. -> "Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений" -> 85

Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.

Беркович Л. М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений — Москва: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 464 c.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка): faktorizachiya-i-preobarazovaniya-differencial.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 130 >> Следующая


dv0 , 2 dvi dv2 , .

— = p(wi-w2), —=-Pv0V1, —= pv0v2, р = const. (15)

Так как

v[(t) v'2(t)

V0 =--— =-—, a W2 = к V1, к = const,

PV1(I) pv2(t)

то Wi (t) удовлетворяет уравнению

%-Ш)'+™-&=0- (16)

9. О НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СЛУЧАЯХ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 311

Полученное уравнение линеаризуется. Применив подстановку

к2 ,к2,

w = v1 + -?—, dT = (v1 - ?-)dt,

2v{ v{

придем к уравнению w"(t) + р2 = 0, общее решение которого имеет вид

w = C1+ C2T-^t2.

Это позволяет найти общее решение уравнения (16) в параметрической форме. Первый интеграл и однопараметрическое семейство решений могут быть представлены соответственно в виде

v2=p2(Cv\-2v\- к2),

dvi . , „

— = ±ipt + С

V2(v\ + к? j2)

В заключение отметим, что сложные СГТ являются суперпозициями простейших триплетов (Обухов [191], с. 109-116) и что аналогия между гидродинамикой идеальной несжимаемой жидкости и динамикой твердого тела имеет глубокие теоретико-групповые корни (Arnold [243]).

9. О некоторых интегрируемых случаях динамики твердого тела

Классическим интегрируемым динамическим системам посвящено множество исследований. Обзоры интегрируемых случаев в динамике твердого тела содержатся в работах Дубровина [117], Козлова [151], Оден [195], Борисова и Мамаева [90] и др.

Интегрирование уравнений движения твердого тела в случае С.В.Ковалевской [146] приводит к системе уравнений

dyi = Vf(Vi) dy2 = \/f (У2) dx ~ У\ - Vi ' dx У2 - У\ '

где f(y) — полином пятой степени. Заменой независимой переменной

dt =-dx

Уі - У2

(2)

312

Глава 5

система (1) сводится к уравнениям с разделенными переменными

Vi = V/Cj/i), Vi = —л//(2/2),

т. е. интегрируется, причем в (9-функциях рода 2.

Более того, система (1) может быть линеаризована. Как показала С.В.Ковалевская, (1) эквивалентна системе

O=^1 + dm , dx = Vldyi + . (3)

у/Ш х/7Ы VfTvA) VJW)

Применим к (1) преобразование Абеля зависимых переменных

Sl = Г -4= + Г * (4)

Тогда получим

dz1 dyi/dx dy2/dx x/fJm) t VJIm)

dx Vfivi) Vf(Vz) (Vi -Vi)Vf(Vi) (2/2 - Vi)Vf(Vi)

dz2 _ yidyi/dx y2dy2/dx _ yi Vf(yi) + У2 VfJy2) _ ^

dx Vf(Vi) Vf(Vi) (yi - Vi) Vf(Vi) (yi - Vi) Vf(Vi) В результате придём к линейной системе

= о dz2 = 1

Заметим, что преобразование Абеля успешно применяется и к ряду других интегрируемых задач.

Случай Горячева-Чаплыгина также приводит к системе вида (1), где f(y) — полином шестой степени.

А в случае Клебша уравнения движения твердого тела в идеальной жидкости приводятся к системе вида

dyi _ (ayi+b)v/f(yi) dy2 _ (ауі +Ь)^Jf Jy2) dx ~ Vi-Vi ' dx ~ Vi-Vi '

9. О НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СЛУЧАЯХ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 313

dx

^Ш) л/Ш Ш~У2 У2~ш

dzi _ dyi/dx dy2/dx _ ay2 + b ayi + b _

^~ ^/Ш~Шуі~У2+У2у2-уі ~ '

т. е. придём к линейной системе

dz\ _ ^ dz2 _ dx ' dx

Однако для линеаризации уравнений может быть применен и наш метод. При этом никаких ограничений на функцию /(у), за исключением возможности интегрирования в конечном виде уравнений (1) и (6), не накладывается.

Предложение 1. Решения системы

удовлетворяют нелинейным уравнениям 2-го порядка

= Ь^Ш, Jf = -0V7TR- b = const, (7)

у"+ -|f +77 K-62V7/ = 0' (8)

которые линеаризуются соответственно подстановками

z = ехр( / —jL), dt = dx, (10)

у = z, dt = -—-<ir (11)

в уравнение

z-b2z = 0. (12)

Применим к (6) преобразование Абеля (4),(5). Последовательно имеем:

dzi dyi/dx dy2/dx ау2 + b ауг+Ъ

314 Глава 5

(D-^y' + b)(D-^y'-b)y = 0.

Перепишем (13) в форме:

(D-Vly' + b)[(l-Vly)y'-by]=0.

Примем



Тогда ОДУ 1-го порядка относительно v(y) будет иметь вид

dv = (л/Щ-у)у

dy yVW)

Интегрируя его, найдем

v[y) = у ехр I-

J л/7Ш

VfW)J

Подставив (14) в (13), получим факторизацию

D

1

1

у VW)

Раскрыв (15), получим 1

у' + ь

у1 - by

уу

Uf__

П VVf

V /2

уу

ui с 1 1 \ 1 /:

by-{y-vj}vjyy

+(і - -)=)byy' + --^уу1 - b2y = 0.

(13)

(14)

(15)

Упростив полученное выражение, придем к (8). Найдем теперь линеаризующую подстановку. Представим уравнение (8) в виде (4.12), т. е. в виде

у" + F(y)y'2 - Ъ2Ф(у) = 0.

• Представим искомое уравнение (8) в виде факторизации

9. О НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СЛУЧАЯХ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 315

12 J Фехр(2 J FcIy)CIy1 dt

-dx.

В нашем случае F = ^—]=, Ф = Vf- После несложных выкладок

2J Vf

получим подстановку (10), которая приводит к линейному уравнению (12). Займёмся теперь выводом уравнения (9). Будем искать (9) в виде

(D - + bu)(D - Ьи)у = 0. (16)

Положим и = Vf /у- Тогда (16) станет

[2j-yjy±bir\ у

откуда следует уравнение (9). Его линеаризует подстановка (11) к ви-ДУ (12). •

В силу замены независимой переменной (2) вместо системы (6) можно рассматривать систему
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 130 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed