Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
dv0 , 2 dvi dv2 , .
— = p(wi-w2), —=-Pv0V1, —= pv0v2, р = const. (15)
Так как
v[(t) v'2(t)
V0 =--— =-—, a W2 = к V1, к = const,
PV1(I) pv2(t)
то Wi (t) удовлетворяет уравнению
%-Ш)'+™-&=0- (16)
9. О НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СЛУЧАЯХ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 311
Полученное уравнение линеаризуется. Применив подстановку
к2 ,к2,
w = v1 + -?—, dT = (v1 - ?-)dt,
2v{ v{
придем к уравнению w"(t) + р2 = 0, общее решение которого имеет вид
w = C1+ C2T-^t2.
Это позволяет найти общее решение уравнения (16) в параметрической форме. Первый интеграл и однопараметрическое семейство решений могут быть представлены соответственно в виде
v2=p2(Cv\-2v\- к2),
dvi . , „
— = ±ipt + С
V2(v\ + к? j2)
В заключение отметим, что сложные СГТ являются суперпозициями простейших триплетов (Обухов [191], с. 109-116) и что аналогия между гидродинамикой идеальной несжимаемой жидкости и динамикой твердого тела имеет глубокие теоретико-групповые корни (Arnold [243]).
9. О некоторых интегрируемых случаях динамики твердого тела
Классическим интегрируемым динамическим системам посвящено множество исследований. Обзоры интегрируемых случаев в динамике твердого тела содержатся в работах Дубровина [117], Козлова [151], Оден [195], Борисова и Мамаева [90] и др.
Интегрирование уравнений движения твердого тела в случае С.В.Ковалевской [146] приводит к системе уравнений
dyi = Vf(Vi) dy2 = \/f (У2) dx ~ У\ - Vi ' dx У2 - У\ '
где f(y) — полином пятой степени. Заменой независимой переменной
dt =-dx
Уі - У2
(2)
312
Глава 5
система (1) сводится к уравнениям с разделенными переменными
Vi = V/Cj/i), Vi = —л//(2/2),
т. е. интегрируется, причем в (9-функциях рода 2.
Более того, система (1) может быть линеаризована. Как показала С.В.Ковалевская, (1) эквивалентна системе
O=^1 + dm , dx = Vldyi + . (3)
у/Ш х/7Ы VfTvA) VJW)
Применим к (1) преобразование Абеля зависимых переменных
Sl = Г -4= + Г * (4)
Тогда получим
dz1 dyi/dx dy2/dx x/fJm) t VJIm)
dx Vfivi) Vf(Vz) (Vi -Vi)Vf(Vi) (2/2 - Vi)Vf(Vi)
dz2 _ yidyi/dx y2dy2/dx _ yi Vf(yi) + У2 VfJy2) _ ^
dx Vf(Vi) Vf(Vi) (yi - Vi) Vf(Vi) (yi - Vi) Vf(Vi) В результате придём к линейной системе
= о dz2 = 1
Заметим, что преобразование Абеля успешно применяется и к ряду других интегрируемых задач.
Случай Горячева-Чаплыгина также приводит к системе вида (1), где f(y) — полином шестой степени.
А в случае Клебша уравнения движения твердого тела в идеальной жидкости приводятся к системе вида
dyi _ (ayi+b)v/f(yi) dy2 _ (ауі +Ь)^Jf Jy2) dx ~ Vi-Vi ' dx ~ Vi-Vi '
9. О НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СЛУЧАЯХ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 313
dx
^Ш) л/Ш Ш~У2 У2~ш
dzi _ dyi/dx dy2/dx _ ay2 + b ayi + b _
^~ ^/Ш~Шуі~У2+У2у2-уі ~ '
т. е. придём к линейной системе
dz\ _ ^ dz2 _ dx ' dx
Однако для линеаризации уравнений может быть применен и наш метод. При этом никаких ограничений на функцию /(у), за исключением возможности интегрирования в конечном виде уравнений (1) и (6), не накладывается.
Предложение 1. Решения системы
удовлетворяют нелинейным уравнениям 2-го порядка
= Ь^Ш, Jf = -0V7TR- b = const, (7)
у"+ -|f +77 K-62V7/ = 0' (8)
которые линеаризуются соответственно подстановками
z = ехр( / —jL), dt = dx, (10)
у = z, dt = -—-<ir (11)
в уравнение
z-b2z = 0. (12)
Применим к (6) преобразование Абеля (4),(5). Последовательно имеем:
dzi dyi/dx dy2/dx ау2 + b ауг+Ъ
314 Глава 5
(D-^y' + b)(D-^y'-b)y = 0.
Перепишем (13) в форме:
(D-Vly' + b)[(l-Vly)y'-by]=0.
Примем
-у
Тогда ОДУ 1-го порядка относительно v(y) будет иметь вид
dv = (л/Щ-у)у
dy yVW)
Интегрируя его, найдем
v[y) = у ехр I-
J л/7Ш
VfW)J
Подставив (14) в (13), получим факторизацию
D
1
1
у VW)
Раскрыв (15), получим 1
у' + ь
у1 - by
уу
Uf__
П VVf
V /2
уу
ui с 1 1 \ 1 /:
by-{y-vj}vjyy
+(і - -)=)byy' + --^уу1 - b2y = 0.
(13)
(14)
(15)
Упростив полученное выражение, придем к (8). Найдем теперь линеаризующую подстановку. Представим уравнение (8) в виде (4.12), т. е. в виде
у" + F(y)y'2 - Ъ2Ф(у) = 0.
• Представим искомое уравнение (8) в виде факторизации
9. О НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СЛУЧАЯХ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 315
12 J Фехр(2 J FcIy)CIy1 dt
-dx.
В нашем случае F = ^—]=, Ф = Vf- После несложных выкладок
2J Vf
получим подстановку (10), которая приводит к линейному уравнению (12). Займёмся теперь выводом уравнения (9). Будем искать (9) в виде
(D - + bu)(D - Ьи)у = 0. (16)
Положим и = Vf /у- Тогда (16) станет
[2j-yjy±bir\ у
откуда следует уравнение (9). Его линеаризует подстановка (11) к ви-ДУ (12). •
В силу замены независимой переменной (2) вместо системы (6) можно рассматривать систему