Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Согласно А. М. Обухову, формальное определение СГТ может быть дано следующим образом:
Будем называть механическую систему Sn, состояние которой определяется набором величин и1, и2,..., ип (вектор и1), системой гидродинамического типа (СГТ), если выполняются следующие три фундаментальные условия:
1. Уравнения движения квадратично нелинейны и могут быть записаны с помощью динамического тензора 3-го ранга Г* fe в форме
(при отсутствии линейных членов), где подразумевается, что по одинаковым индексам, обозначаемым греческими буквами, производится суммирование. Динамический тензор всегда можно считать симметрическим по нижним индексам:
= 0.
308
Глава 5
2. Движение системы сохраняет фазовый объем, что в силу теоремы Лиувилля приводит к следующему условию регулярности
дйх _ 0 дих
откуда следует обращение в нуль ковариантного вектора Vi = Г ^ = 0.
3. Существует интеграл энергии — положительно определенная квадратичная форма переменных
2Е = дХаихи^
определяемая невырожденной симметрической матрицей (??, такой, что clE/clT = 0 в силу уравнений движения.
Существование интеграла энергии накладывает на динамический тензор Г* fe условия
віх^ік + ajx^ki + akx^ij = 0, gik = Sik,
где бік — известный символ Кронекера.
Если ввести соглашение об опускании индексов с помощью тензора энергии, то условие консервативности системы можно записать в форме циклического соотношения
r^jfc ~Ь Fj,кг ~\~ ^k,ij 0,
выражающего закон сохранения энергии. Система регулярна, если
Efc rfcjfc = 0 при любом j.
При п = 2 невозможно удовлетворить закону сохранения энергии и требованию регулярности (лиувиллевости).
Покажем это на простейшем примере. Рассмотрим систему лишь с двумя степенями свободы, обладающую квадратичным интегралом движения (энергия), заданным в виде 2Е = х\ + х\.
Уравнения движения такой системы можно представить в виде
х\ = ацх2 + 2а\2х\х2 + а22х\ х2 = Ьіхх\ + 2b12xlX2 + Ь22х\.
(10)
Из требования сохранения энергии следует, что ац = 622 = 0, 2аі2 + Ь\\ = 0, ?22 + 2&12 = 0, откуда (10) можно представить в виде
х\ = (axi + ?x2)x2 X2 = —(axi + ?x2)x\.
(И)
8. Уравнения Эйлера для гироскопа.
309
Введя новую переменную (фиктивное время) т = \/а2 + ?2t и сделав преобразование поворота
X = {а2+ ?2)-1/2{?Xl - ах2), у = {а2+ ?2)-xj2(axx + ?x2),
приведем уравнения движения к виду
?-»"•S--*»- <12>
Таким образом, любая система с двумя степенями свободы с квадратично-нелинейными уравнениями, допускающая квадратичный интеграл энергии, может быть приведена невырожденным линейным преобразованием к виду (12). Данная система не регулярна, т. к.
тг + тг = -**0-
ох оу
Таким образом, СГТ не может иметь менее трёх степеней свободы. Что касается системы (12), то она легко интегрируется: переменные разделяются, как, впрочем, в (11), и она сводится к системе вида
у" - гГУ2 + У3 = 0, х" + 2хх' =0, ( ' ) = d/dr7
каждое из уравнений которой линеаризуется (линеаризуются и уравнения, полученные из (11) после разделения переменных). Решение при соответствующем выборе системы отсчета времени имеет вид
X = ath(ar), у = \hach~1 (ат),
где а2 = X2 + у2 — квадратичный интеграл энергии. Координата х монотонно возрастает в интервале (—а, а). Знак у зависит от начальных условий, сохраняется в процессе движения и при неограниченном возрастании времени t стремится к 0.
8.3. Эквивалентность триплета классическому гироскопу
Уравнения движения Эйлера для гироскопа являются примером СГТ 3-го порядка. Такую систему будем называть триплетом. Гидродинамической интерпретацией триплета является течение идеальной несжимаемой жидкости внутри разноосного эллипсоида с линейным распределением скорости. Триплет - простейшая нетривиальная СГТ. В общем случае уравнения движения триплета в некоторой ортогональной системе координат
310
Глава 5
зависят от 5 параметров. Обозначив фазовые координаты через W1, W2, V3, уравнения движения триплета можно представить в виде
V1 = PoV2V3 + 1(V2 - V3) + TnV1V2 — 11V1V3
V2 = QoV3V1 + m(v3 - W1) + JiV2V3 — Iv2V1 (13)
V3 = T0V1V2 + n(v2 - vi) + IV3V1 — TTlV3V2,
причем Po + Qo -1T то = 0, в остальном коэффициенты произвольны. Нетрудно проверить, что величина
2Е = W1 + wf + V3
является интегралом движения и что
дії Ov2 Ov3 = 0 dvi dv2 dv3 '
т.е. выполняются закон сохранения энергии и условия регулярности (размерности). В работе (Гледзер, Должанский, Обухов [108]) показано, что система (13) эквивалентна уравнениям Эйлера (1) из теории гироскопа, которые в энергетических переменных имеют следующий вид
U1=PU2U3, U2 = Qu3U1, U3 = TU1U2, p + q + r = 0, (14)
(например, г = p,q = —2р). А именно: существует ортогональное преобразование, приводящее систему (13) к системе (14), которая линеаризуется (см. Беркович [63]). Переменные в (14) разделяются, как в п. 8.1.
Другим примером может служить триплет, уравнения движения которого можно записать в виде (см. Обухов [192])
