Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
(D-Y-2^-r3u)(D-^-^-r2u)(D-Y-riu)y+cu3v = О, D = d/dx,
(4)
или чтобы (Y) могло быть факторизовано через коммутативные операторы
(l\D Ш гзХїї Л -Ш- - ^ - T1)V + cv = 0. (5)
Здесь и' = и*у', v' = v*y', ( * ) = d/dy, rk, k = 1, 2, 3 — корни характеристического уравнения
г3 + b2r2 + Ъгг + Ъо = 0. (6)
Теорема 1 является следствием теоремы 1.1, обобщает теорему 2.1 (см. также Беркович [34]) и доказывается аналогично теореме 3.8.1 (б,в) о приводимых линейных неавтономных уравнениях.
296
Глава 5
Лемма 1. Если (1) линеаризуется с помощью (2), то имеет место разложение
-у)у"
У + (1-ЗД(6^г+4^)
у"у' + Ml - ігУ)у"+
-у
(1-^)(6- + 6^^ + 3
qU*V** im у
~v v~y
- b2uy
+&iw2(l - jfy)y' + b0u3y + cvu3 = O • Согласно (4) имеем:
V
у + ^-ігу)(іг + 2іг)
(7)
D-(\ + \)y'-r2u
V ' и
(D- \y' -nu)y =
= (1 - v-1v*y)y" - [(2«-1«* + M-1M+)(I - «-Vy) + IjV-1V**} y'2-
— (ri + r2)u(l — г>_1г>*у)у' + r\r2u2y. (8)
Применяя теперь дифференциальный оператор D — (Ц^ + 2Ц^)у' — г3и
к (8) и, добавив к полученному выражению слагаемое cu3v, придем к формуле (7).»
Лемма 2. Общее решение нелинейного неавтономного уравнения 2-го порядка
V** - 2V-1V*2 + (2у
+ ^(Ju-1U* + ^f)v = 0, / = /(у), v^ay + b, имеет вид (а, ? — произвольные постоянные)
у
v(y) =
a + ? J и4/3 ехр(1/3 J fdy)dy'
(9)
(10)
• Подстановкой V = V1 уравнение (9) приводится к линейному неавтономному виду
V*
/о -і 4 -і * (2у - -и и
\fW*-v-1^u-1U*+ \f)v = q. (11)
7. Точная линеаризация автономных уравнений третьего порядка 297 Уравнение (11) допускает факторизацию
{Dy - ^u-1U* -Jf + V^)(Dy + V-1YV = О, Dy= d/dy.
Общее решение уравнения (11) имеет вид
V=J[a + ?j и4/3ехр(1/3 J fdy)dy}.
Здесь а, ? — произвольные постоянные и, следовательно, v(y) удовлетворяет соотношению (10). •
Специальный случай формулы (10) даётся выражением v = у/ (а+?y), которое соответствует соотношению и = ехр(—1/4 J fdy).
Теорема 2. Для того чтобы уравнение (1) могло быть линеаризовано преобразованием (2), необходимо и достаточно, чтобы (1) было представимо в следующем виде:
у"' + f(y)y'y" + ^(зу-у* - 5^-у2 - /р-у + f + 3/V3+
+ip5'3(bo J р4/3 exp(l/3 J fdy)dy + c/?) exp(-l/3 J fdy) = 0. (12) Уравнение (12) приводится к (3) преобразованием
z = ? J ср4/3 ехр(1/3 J fdy)dy, dt = ip(y)dx. (13)
• Запишем (9) в виде
- 3v-V*y + (1- V-Jy)(QV-J + ф] = /(1 - %}y).
Положив в формуле (10) a = 0, ip = и(у) и подставив выражение v в (7), получим уравнение (12).
298
Глава 5
Следствие 1. Общее решение уравнения (12) можно представить в параметрическом виде
? / ?,4/3ei/3//d„dy:
zi = Z~2k=i ck exp(rfci) - I T1 ф r2 Ф r3 ф 0; Zi = exp(-yi)(cii2 + c2t ¦
г = 1,2,
¦ C3)
3
П = r2 = r3 = -y ^ 0; Z1 = Ci + C2 exp(r2t) + C3 exp(r3?) r\ = 0, г2фг3ф 0;
_c_
Ci + c2t + C3 exp(-62t) -
262
-i2
r2 = 0, r3 ^ 0;
+2 _
ri =
Zi = a + c2t + c3t2 --^t3, T1=T2
= Ci exp(rii) + exp(r2i)(c2 + C3Tj)
ri ф0, r2 = r3 ф 0;
= Ci + exp(r2?)(c2 + c3t) - ф-t,
Ol
ri = 0, r2 = r3 ф 0;
r3 =0; _c_
&0 '
Zj:
O0
Ci + Asm(y/b[t + U)
: O2 = 0, 6i > 0; ci + As/i(V-oit; : O2 = 0, 6i < 0;
bi
t,
B)
ч>Ш)
(14) (15)
Здесь сі, c2, c3, A, B — произвольные постоянные.
Отметим, что общее решение уравнения (12), полученное исключением параметра t из уравнений (14), (15), является нелинейной функцией трех произвольных постоянных.
Следствие 2. Если с = 0, уравнение (12) допускает однопараметриче-ские решения
rkx + С = I1, I1
^1/3 ехр( 1/3 f/dy)
dy, к = 1,3 (16)
]>4/3ехр(1/3 f/dy) (здесь С — произвольная постоянная), удовлетворяющие уравнениям пер-
7. Точная линеаризация автономных уравнений третьего порядка 299 вого порядка:
у' - r^-1/3 ехр(-1/3 / fdy) = 0, (17)
(здесь Гк — простые характеристические корни (6)), а при кратных корнях (6) — решения вида
I1 = -U2x + (k-1) ffir+C, к = ТД (18)
3 J t(x)
Здесь t(x) — обращение интеграла для x(t) в (15).
• Уравнение (12) эквивалентно факторизации (5) при с = О, которой при г\ ф г-2 ф гз соответствует система уравнений первого порядка
(1 — v~1v*y)y' — ГкЩ = О, к = 1,3.
Отсюда при и = if в силу (10) (соответственно (13)) приходим к уравнению (16).
Пусть теперь п = Г2 = гз = — . Тогда справедливы соотношения
eM-jt)^1 =? J <Р4/3 ехр(1/3 J fdy)dy, fc = Т~3. (19)
Прологарифмировав (19) и взяв от обеих частей полученного уравнения дифференциалы, придем к уравнению
-%dx + (к - 1A = ^eXP(1/3/W" . * = ЇД 7ф0 ]>4/3ехр(1/3]7ф)*/
Отсюда следуют формулы (18). •
Пример 1. (Зайцев, Полянин [126], N 3.3.1, см. также гл. 4, (3.21)):
у'"-ау-5/2 = 0. (20)
Это уравнение принадлежит классу линеаризуемых уравнений (12), а именно: оно является частным случаем (12) при /(у) =0, Ъ2 = Ъ\ = bo = 0 :
у'" + 1(3U-1U** - 5и-2и*2)у'3 + V/3 = 0. (21)
У р
При и5/3 = у~5/2, т.е. при и = у~3/2, выражение, стоящее в круглых скобках в (21), обращается в нуль. В силу теоремы 2 уравнение (20) подстановкой
