Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
подстановкой у = ^ приводится к простейшему линейному уравнению
3-го порядка: ц"' = 0. В частности, (4) линеаризуется заменой у = ц'/п. Пример 3. Одномерное движение частицы вдоль оси.
Пусть M — масса центрального тела, т — масса частицы, к2 = Q (M + т), где G — гравитационная постоянная, hk — кеплеровская энергия.
Уравнение одномерного невозмущенного движения и интеграл энергии сводятся к виду
и , к2 п к2 1 I2 7 1л 0\
У +7^2"=0' -у~2У ь ( >
откуда следует уравнение
у" + І-уУ'2 + т = 0 ^
1°. показатель р степени двучлена является целым числом; 2°. (т + 1)/п Є Z; 3°. (m + 1)/п + р Є Z.
Применительно к рассматриваемому примеру интегрирование в конечном виде произойдет тогда и только тогда, когда выполняются условия 2° или 3°.
Одновременно (7) допускает элементарные однопараметрические решения. Действительно, факторизация уравнения (7) имеет тот же вид, что и (Iі), а именно
(D - r2y)(D + ¦L' - пу)у = 2(у" + ауу' + |у3), (10)
где п, <"2 удовлетворяют характеристическому уравнению г2 + ar + Ь = 0. Сами однопараметрические решения таковы:
У = —2{Г\;2.Х + с)-1, єсли Г\ ф T2-
Пусть Ъ = а2/'4. Тогда однопараметрические решения таковы:
у =--^-, (11)
у = Vtexp(-at/2), х + к= t~1/2exp(atl2)dt. (12)
280
Глава 5
с особенностью при у = 0. Преобразованием
y = Yyz, dt = l/ydx (15)
(14) приводится к уравнению линейного гармонического осциллятора
2ф = о.
Таким образом, MTJI позволяет регуляризировать дифференциальные уравнения (т. е. устранять их особенности).
Более громоздким путем линеаризация уравнения (14) осуществлена в работе (Штифель, Шейфеле [234]).
Пример 4. Уравнение Лэнгмюра (см. Langmuir, Blodgett [342]).
у"-|у'2 + ОД4 = 0 (16)
Подстановкой z = 1/у, dt = ydx оно линеаризуется: z —а = 0; ядро и множитель линеаризующего преобразования имеют вид: и = у, v = у2. Соответствующие дифференциальные уравнения для и(х) и v(x) таковы:
и" - |и'2 + аи4 = 0,
v"-2^ + 2av5/2 = 0.
Уравнение Лэнгмюра (16) подстановкой у = У-1/2 приводится к виду Y" - 2аУ-г/2 = 0.
4. Линеаризация некоторых классов динамических систем второго порядка
4Л. Линеаризация путем преобразования зависимой переменной
Рассматриваемый класс описывается уравнением вида
У" + f(y)y'2 + biy' + ехр(- J fdy)(b0 J ехр( J fdy)dy + c/?) = 0. (1) Соответствующее преобразование имеет вид
z = ? ехр( / fdy)dy dt = dx. (2)
4. Линеаризация некоторых классов динамических систем 281
2у-1
/2
У2 + 1
У
Оно подстановкой z = exp(arctgy) линеаризуется: z" = 0, и, следовательно, исходное уравнение имеет общее решение у = tg\u(c\ + с2х). Пример 2. (Авдонин, Белов, Маслов [2]). Уравнение
у" - ^y'2 = 0, h = const, (51)
подстановкой z = ехр(—у Jh) приводится к линейному виду z" = 0, а также допускает факторизацию
[D-(l + \)y'][D-(l + \)y>]y = ^
раскрытие которой даёт уравнение —y/h(y" — 1/hy'2) = 0, эквивалентное данному.
^Специальные случаи уравнения (5), а также уравнения
у" - \у12 + ay2 + by3 = 0
использовал А. В. Бицадзе [84, 85] для построения нелинейных уравнений в частных производных, допускающих точные решения.
4.2. Линеаризация путем преобразования независимой переменной
Рассматриваемый класс описывается уравнением
у" -^y'2 + hfу1 + f2(Ъ0у +|)=0, V = V(V)- (3)
Соответствующее преобразование имеет вид
z = ?y, dt = f(y)dx. (4)
Пример 1.
у" + f(y)y'2 = 0. (5)
Уравнение (5) относится к обоим классам: (1) и (3). Преобразованием z = = ? j ехр(— J fdy)dy оно сводится к простейшему линейному уравнению z" = О.8 В то же время (5) подстановкой dt = ехр(— j fdy)dx сводится к
линейному уравнению У= 0.
В качестве конкретного примера возьмем уравнение
282
Глава 5
Замечание 1. Общее решение линеаризуемого уравнения соответствует определённому принципу нелинейной суперпозиции. Уравнение (51) порождает следующий принцип. Пусть у\, г/2 — фундаментальная система решений (51X a z\ = ехр(—yi//i), Z2 = exp(—y2/h) — линейно независимые решения уравнения z" = 0. Тогда (?? = ехр[— (yi + где Cj,Aj —
произвольные постоянные (сі = ехр(—Aj//i)), — однопараметрические семейства решений соответственно линейного и нелинейного уравнений. Общему решению z = c\Z\ + C2Z2 линейного уравнения соответствует общее решение
у = -/iln{exp[-i(y! +A1)] + ехр[-^(у2 + А2)]}
нелинейного уравнения (51), которое можно назвать его принципом нелинейной суперпозиции.
4.3. Модификации линеаризуемых систем
Рассмотрим классы динамических систем типа (2.12), у которых произвольными являются функции /(у) и ф(у) или (р(у) и ф(у) соответственно (см. Беркович [34], Berkovich [260-262, 266]).
а) Пусть /(у) и ф(у) — произвольные функции. Соответствующий класс динамических систем описывается уравнением
У +f{y)y + bi - =у + Ъ0ф = 0, O0 ф 0, (6)
р\фсщ>(2\ fdy)dy
линеаризуемым преобразованием
фехр(2 I fdy)dy, dt = — ^ р(// у) -^ ^
^2 J фехр(2 J fdy)dy б) Еще один класс динамических систем описывается уравнением
