Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
ао(у, у'у") = Ci2Ci1 - Ci1. (28)
2. Точная линеаризация автономных уравнений второго порядка 275
/ її
В нашем случае а± = — + r±u, а2 = \ + \ + г2и, откуда в силу (27)
и (28) придём соответственно к формулам (25), (26).
Переходим теперь непосредственно к доказательству теоремы 5. Прежде всего покажем, как можно представить выражение ао — 1/4а2 — 1/2а^. После громоздких выкладок оно примет вид
flu** 3fu*\2\ 12 [и 1и2л 2 , іи* //
Это выражение можно записать также в виде
іи" (у) Ъ{и'{у)\2 1 2 І=2^Г--1\-ЧГ) - дай , и(у) = <р(у),
где S = Ь\ — 4&п, а (') = А, т.е. имеет вид (23). Полученное выражение
представляет собою полуинвариант относительно преобразования искомой функции у = \(y)Y. Факторизация (4) (при с = 0) после подстановки у = \(y)Y примет вид
\* її* ti* \* її*
[Д + (у - IT - I") - 1•M[D + (у - IT) - rm]Y = 0.
По аналогии с леммой 1 найдем коэффициенты A1 и Aq уравнения
Y" + A1(Y, Y', X)Y' + A0(Y, Y', Y", X)Y = 0,
а именно:
A1 = (2^ -2^ -^)у' + Ъ1Щ л (A*2 0\*v* и* А* і V*2 , и* и*\ /2 і , //'A* w*
A** A*2 w** w*2\ / , /А* w*\ /, , , 2 Нам понадобятся также следующие формулы:
276 Глава 5
/ \** \*2 „,** „,*2 л,*2\
А[ = (2А- - 2А_ _ 2 V + 2- V + V)^2 + MV-
д V и jy
Нетрудно проверить, что
3. Иллюстративные примеры
Нижеприведенные примеры являются иллюстрациями предложенных методов.
Пример 1. (Painleve [378, 379], Gambier [312], Голубев [109]). Важную роль при изучении однозначных функций, определяемых дифференциальными уравнениями 2-го порядка, играет уравнение
у" + 3уу' + у3 = 0. (1)
Оно относится к классу (2.12), где /(у) = 0, <р(у) = у. Ъ\ = 3, с = 0, ? = = 2, бо = 2, и допускает факторизацию
(D - r2y)(D + I - пу)у = 2(у" + Ъуу' + у3), (Iі)
полученную из (2.8) при v = у-1, и = у, причем п, г2 суть корни характеристического уравнения
г2 + Зг + 2 = 0. (2)
Корни уравнения (2) таковы: г\ = —2, —1; r% = —1, —2. Поэтому од-нопараметрические семейства решений уравнения (1) в силу формул (2.16) имеют вид
У={х + с'Г\ (21)
у = 2(х +с")-1. (22)
Заметим, что решение (2і) в [109] не было указано. Уравнение (1) подстановкой
у2 = z, dt = ydx (3)
3. Иллюстративные примеры
277
приводится к линейному виду
z + Зі + 2z = О, (4)
откуда на основании (2.14), (2.15) имеем
у = ±y/ciexp(-2t) +C2 exp(-t),
X = ±J
dt (5)
у/Ci exp(—2t) + C2 exp(—t)
где сі, C2 — постоянные интегрирования. Пусть C2 Ф 0 . Тогда
±exp(-f)v/ci +C2 exp(t), ж = +2/C2V7Ci +C2 exp(t) - fe,
fc — постоянная интегрирования. Исключив параметр t и обозначив 2fc = = a, fe2 - ACiC22 = семейство решений:
а, fe2 — 4cic2 2 = Ъ, придем к формуле, дающей двухпараметрическое
2lC ~\~ Cl / г-\
у=—,-гт- W
ж + ах + о
Если C2 = 0, то из (5) вновь придем к формуле (21). Из формул (2) и (6) видно, что однопараметрическое и двухпараметрическое решения уравнения (1) имеют в качестве подвижных особенностей только полюсы.
Замечание 1. Уравнение (1) допускает также факторизацию, непосредственно не связанную с точной линеаризацией:
(D - by)(D - ау)у = 0, -(2а + Ъ) = 3, ab = 1,
т.е. а = —1/2, 6 = 2 или а = —1, Ъ = —1. Соответственно имеем
(D + 2y)(D + ±y)y = 0 (при n = -1, r2 =-2) (I2)
и
(D + y)(D + у)у = 0 (прип =-2, r2 =-1). (I3)
С факторизацией (I3) связаны два важных преобразования. Это преобразование Бэклунда, которое можно записать как в интегродифференциаль-ном, так и в дифференциальном видах:
у = ехр(- / ydx)z, — = -у + —.
Оно приводит (1) к простейшему линейному уравнению z" = 0.
278 ГЛАВА 5
z"-2^+z2
с общим решением
x + ах + Ъ
Замечание 2. На уравнение (1) можно смотреть как на обобщенное уравнение Риккати первого рода, полученное из линейного уравнения Y = = 0 в результате подстановки Y = ехр( f ydx) (см. Беркович [50], гл. 2, п. 7, табл. 5).
Другой способ интегрирования уравнения (1) рассмотрен в работе (Голубев [109]).
Пример 2. (обобщение примера 1), (см. также Камке [139], N 6.43).
у" + ауу' + b/2y3 = 0, а, Ъ G Q. (7)
Подстановка (3) линеаризует (7), а именно приводит его к виду
z +az + bz = 0, (8)
обобщающему (4).
Уравнение (8) допускает следующее общее решение:
у = ехр(—(m + l)t)(ci exp(ni) + С2)1/2, x = J exp((m + l)t)(c\ exp(ni) + С2)_1/2сЙ,
(9)
где m =
а + фа2 - Ab г- — , ----1, n=\/az-Ab, p = -1/2.
Если в подынтегральном выражении в формуле (9) ввести подстановку exp(t) = s, получим дифференциальный бином
sm(Clsn + c2)-l'2ds,
который согласно классическому результату П. Л. Чебышева [231] интегрируется в элементарных функциях в следующих трех случаях:
С другой стороны, факторизации (I3) соответствует преобразование Риккати
Z = у'+ у2,
приводящее (1) к уравнению
3. Иллюстративные примеры 279
Замечание 3. Линеаризация путем повышения порядка.
Уравнение типа (7)
У" + ауу' + f у3 = 0 (71)
зп' -
