Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Y^ (х) + У {!Vk[X)Y^(X) = 0, (53)
k=l ^ '
либо состоит из частных решений присоединенного нелинейного уравнения.
Выражение (52) будем называть принципом (законом, правилом, формулой) нелинейной суперпозиции (ПНС). Если известны ФСР и ПНС, то можно построить соответствующее нелинейное уравнение.
Теорема 4. Для уравнения (40), (42) ПНС имеет вид
/п2-п+2 г. п
(р 2п ехр( fdy)dy = yckzk{t)+z, dt = (pdx, (54)
k=l
268
Глава 5
где z(t) — частное решение линейного неоднородного уравнения (41), а Zk{i), к = 1,п, образуют ФСР линейного однородного уравнения, соответствующего (41), т. е. уравнения
гЫ (t) + (Л bkz^-- = 0, Ък = const, (55)
к=і W
• Непосредственно следует из теоремы 3. В качестве присоединенного уравнения вместо (53) здесь выступает уравнение (55). А ПНС (формула (54)) представлен в параметрической форме. •
2. Точная линеаризация автономных уравнений второго порядка
2.1. Основные результаты
Многие важные задачи нелинейной механики и физики могут быть приведены к уравнению вида
N (у) = у" + f(y)y'2 + V(y)y' + ф(у) = О, (1)
интегрирование которого в квадратурах в общем случае невозможно. Однако, как показывается в настоящем параграфе, удается построить весьма широкий класс уравнений типа (1), зависящий от двух произвольных функций и решение которого выражается в квадратурах. Построение осуществляется из условия его точной линеаризации. А именно: искомый класс уравнений преобразованием зависимой и независимой переменных
y^z = v~l(y)y, dx —> dt = u(y)dx, (2)
где u(y(x))v(y(x)) ф 0, Ух Є I = {х\а < х < Ъ], приводится к наперед заданному линейному автономному виду
z +b\z + boz + с = 0, b\, bo, с = const, ( • ) = d/dt. (3)
В результате линеаризации исследование нелинейного уравнения типа (1) в плоскости переменных (х, у) сводится к рассмотрению линейного уравнения (3) в плоскости (z, t) и применению преобразования, обратного к (2).
Теорема I.6 Для того чтобы (1) преобразованием (2) приводилось к (3), необходимо и достаточно, чтобы (1) могло быть представлено с помощью
6Теорема 1 есть следствие теоремы 1.1. Однако в связи с важностью автономных уравнений 2-го порядка формулировка и доказательство теоремы 1 приводятся заново.
2. Точная линеаризация автономных уравнений второго порядка 269 факторизации через дифференциальные операторы 1-го порядка
(d - (it + ж)у' - r^D - ttу' - + сл = °. (4)
D = d/dx, (') = d/efe, (*) = d/dy
(операторы, вообще говоря, некоммутативны), или чтобы (Y) могло быть факторизовано через коммутативные операторы
(\D - ^y1 - r2)(lD - ^y' - Г1)у + cv = 0, (5)
где Гк, к = 1,2 суть корни характеристического уравнения
r2 + b1r + b0 = 0. (6)
• Доказательство теоремы 1 проводится по тому же плану, что и соответствующего утверждения для линейных неавтономных дифференциальных уравнений 2-го порядка (см. лемму 2.3.1).
Необходимость. Пусть в результате применения (2) к (1) придем к выражению (3), которое запишем в виде
(Dt-r2)(Dt-n)z+ с=0. D1 = d/dt. (З1)
Умножив (З1) слева на M2W и использовав преобразование (2), получим
U2V(VT1D — T2)(U-1D — Ti)V-1V + Cu2V = 0. (7)
Затем, применив к (7) операторное тождество
(Vr1D - Tk)U1^v-1 = u-kv-1(D - ^ - (к - 1)и' - Гк), к = 1,2, придем к (4).
Достаточность. Подставив (2) в (4), воспользуемся тождеством:
[D - % - (к - I)^1 - TkU]U^1V = ukv(Dt - Гк), к = 1,2.
Тогда (4) преобразуется к виду
u2v(Dt — T2)(Dt — Ti)z + Cu2V = О,
откуда следует (3). Для перехода от разложения (3) к (5) можно последовательно применять операторное тождество
i[^-(^ + (*-l)^)-^] = (^-^-^)-^r.* = 1.2.
270
Глава 5
Непосредственно проверяется, что операторы {-D- — гк), к = 1,2 коммутативны. Чтобы прийти к формулам (4) и (5), воспользуемся правилом дифференцирования ('= у' ¦ *). Заметим также, что условие (5), как и (4), является не только необходимым, но и достаточным.*
Доказательство теоремы 1 вскрывает глубокую аналогию, существующую между линеаризуемыми нелинейными автономными уравнениями типа (1) и алгебраическими уравнениями (6).
Лемма 1. Если (Y) линеаризуется с помощью (2), то имеет место разложение:
(1 - V-}y)N(y) = (1 - V-}y)y" У'21(2^ + ^)(I - ^2/) +
+УчН + M(I - ^-у)у + b0u2y + cvu2 = 0, ифау. (8)
• Для доказательства достаточно перемножить дифференциальные операторы в выражении (4).« Введя обозначение
-[у V + (2V + 1Г)(! - 1ГУ)] = /Ы(! - 1ГУ)> придем к уравнению
г,**-2^ + (§-^-;К + ±(^ + ;)г, = 0, f = f(y), ифау + Ъ. (9)
Лемма 2. Общее решение нелинейного неавтономного уравнения 2-го порядка (9) имеет вид
V{V) = J-Rf \ff, W' (10)
a + ?j wexp(J jayjay
где а, ? — постоянные интегрирования.
• Подстановкой v = 1/V (9) приводится к линейному неавтономному уравнению
V** + (§ - ? - /)У* - Щ + I)V = 0, (11)
которое допускает факторизацию
(Dy + J-^- /)(?>„ + J)V = 0, Dy = d/dy,
2. Точная линеаризация автономных уравнений второго порядка 271 откуда общее решение уравнения (11) имеет вид
