Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Специальный случай теоремы 2 представляет теорема 3.8.1(6,в), сыгравшая важную роль при решении задачи Альфана о приводимых линейных уравнениях.
Особый интерес представляют нелинейные уравнения порядков п = 2, п = 3, с помощью которых описываются многие задачи, встречающиеся в теоретических и прикладных исследованиях.3
Отметим, что сам факт существования указанных выше факторизации дифференциальных уравнений позволяет находить искомые преобразования.
Теорема 3. Для того чтобы автономное уравнение
=F{y,y',...,y(n-V), п>2 (40)
преобразованием (16) сводилось к линейному уравнению
MnZ ее Z^(t) + jr (n\bkz{n-k\i) + с = 0, bk, с = const, (41)
264
Глава 5
необходимо и достаточно, чтобы (40) могло быть представлено в форме факторизации
П[°~ G " 0Og /^ eMJ fdy)dy))*+ (k-l)^)y'-rku\y+
k=n
пг+п-2
C ,
+ ±<р 2» ехр(- / fdy) = 0, (42)
или в развернутом виде
У
(«)
+ nf(y)y'y(n-V +... + ПЬМУ)У{П~1} + ¦¦¦ +
та—1 / \
E ( )ь^т E v>i2^r„yi)sV2)*2-.у*—>»-•»+
m=l 4 ' si+2s2 + ... + (n—m)s„_,„=n-
гИ+га—2 „ Ir
+ ip 2« exp(_ j fdy) \bn i f 2« exp( j fdy)dy + I I = 0,
(43)
г<3в коэффициенты ф суть дифференциальные выражения, зависящие от f
і 12...n — m т
Лри этом гшеем линеаризующее преобразование
п2-п+2
Z = ? j у 2п ехр(у f(y)dy)dy, dt = <p(y)dx, (44)
а также (при с = 0) однопараметрические семейства решений
га -Зга+2
V 2™ exp(J fdy)dy
- = rfe:r + (7, (45)
га -га+2
/9j 2™ ехр(/ fdy)dy где rk — различные характеристические корни уравнения
k=l
а С — постоянная интегрирования.
rn + E ( , ) bkrn~k = 0, (46)
1. Линеаризация уравнений и факторизация • Уравнение (40) допускает факторизацию:4
265
п
D
+ (к - 1)іг ) у' - гьи
у + cunv = 0.
(47)
Раскрывая (47), прежде всего получим выражение
(1 - ^У)У{п) - [п^у + (1 - ?У)(2п? + "Ц^Й*^4 + • - ¦,
(48)
которое доказывается по индукции для п ^ 3 (случай п = 2 рассматривается в следующем параграфе).
Действительно, пусть формула (48) справедлива для п = т. Тогда для п = т + 1 имеем:
[D -(?+ т^)у'] х{(1-^2/)г/т)-
[т^у + (1 - ^У)(2т^ + т2-2+%)]у'у^ + ...}.
Собрав выражения при j/™+1) и у'у^т\ получим первые слагаемые нового выражения:
(i-?y)w(m+1)-
-[(т +D^y+(I- ?i,)(2(m + 1)? 4- w2+2m + 2^)]^ + ...,
что и доказывает (48). Введем обозначение
у** у* I у* _ 77, + 2 и* \ V*
п—у + (1 - -ту) ( 2п — +-2-~й~) = -nf(y)(l - ТУ)-
Относительно V(у) имеем нелинейное неавтономное уравнение 2-го порядка
V** - -V*2 , ,
V \ У
2 _ п2 - п + 2 и* 2п и
п2 - п + 2 и*
2п
1
й + f 7/w = 0
4B отличие от теоремы 1 факторизация (47) учитывает возможность преобразования уравнения (40) в неоднородное уравнение (41).
266 Глава 5
1 _п2-п + 2и*__ { ,Uy-Q D - А
и имеющее решение
'л-п+2
V = \?\u 2« ехр( / fdy)dy.
Тогда
п2-п+2
v(y) = y\ ? и 2« ехр( / fdy)dy . (49)
(В частности, при и = ехр(---——-J fdy), получим v = y{?y
п2 - п + 2
+ 7)-1, 7 = const ф 0). Подставив (49) в (47), получим (42). Положив и = ср(у), в силу (49) получим (44). Раскрыв (42), придем к (43). Уравнение (47) при с = 0 совместно с уравнением первого порядка
(l-v*v-1y)y'-rkuy = 0. (50)
Положив и = (р(у) и подставив (49) в (50), получим (45). • Пример 1. Уравнение
Ую - §2/У" - \у"2 + ^У'2У" + 4012/2/'" - 4612/У + Ghy2y" + Ab3y3y'+
+ \b±y5 + \су3 = 0
подстановкой у2 = z, dt = ydx приводится к линейному виду zlv(t) + + Abiz"'(t) + 6b2z"(t) + 4b3z'(t) + b4z(t) + с = 0и допускает при с = = 0 однопараметрические семейства решений у = —2/(ткх + ск), где тк -различные характеристические корни уравнения ?"4 + 46ir3 + 6b2r2 + 4б3г + + 64 = 0.
После подстановки v = V~x оно превратится в линейное неавтономное уравнение
V** J- {- — п2 —п + 2и* _ Л у* _ п2 - п + 2 и* 1 у _ п \У 2п и J Jv 2п и yv ~v>
допускающее факторизацию
1. Линеаризация уравнений и факторизация 267
5B примечаниях к гл. 5 дана формулировка принципа нелинейной суперпозиции для системы ОДУ 1-го порядка согласно С. Ли (S.Lie [351], s. 765-804).
Замечание 1. Весьма широкий класс нелинейных автономных уравнений гг-го порядка может быть подвергнут тестированию с помощью метода точной линеаризации. Тестами могут служить специализации теоремы 3 для конкретных значений п.
Например, для п = 4 такой испытуемый класс может представить множество уравнений вида
+Hl/ + /о = 0, где (fi, і = 1,6; fj, j = 0,4, суть функции от у.
1.1. Новый принцип нелинейной суперпозиции
Определение 1 (Berkovich [265]).5 Будем говорить, что система функций
Уі{х),--- ,Ут(х) (51)
является фундаментальной системой решений (ФСР) уравнения (40), если его общее решение можно представить в виде функции Ф (конкретной или произвольной)
У = Ф(уъ • • • ,у™; съ • • • ,сп), (52)
где Ci, • ¦ • ,Cn — произвольные постоянные; система (51) состоит либо из частных решений самого уравнения (40), либо образует ФСР для присоединенного линейного уравнения
