Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
(коммутативная факторизация), или
1. Линеаризация уравнений и факторизация
259
(U1 + U2V1Y
Vx + ууу р(и1+и2у') , . м
D-----s-1 -;--,--V3(U1 +и2у
" U1+ и2у
S= 1, п, приходим к некоммутативной факторизации
(10)
V(U1 + U2V1Y
п
к=п
D-^L-(U-I)
D(U1 + и2у') U1 + и2у'
¦ Tk(U1 + и2у')
У, (H)
что соответствует (5).
Докажем обратное утверждение. Пусть имеет место факторизация (5). Применим преобразование (2), последовательно осуществив замены зависимой и независимой переменных: а) у = vz; б) dt = (щ + u2y')dx, (D = (U1 + u2y')Dt). Введем обозначение: U = U1 + и2у'.
п
к=п
D
Dv
,DU
v -(к-1)^-тки
= п
к=п L
B силу тождества
D-^-(U-I)Lf-rkU
V
V (D — T1U)Z.
0-Ц+>-(S-I)^-T8U
V
V=V
D-(s-l)
DU U
приходим к выражению і
п
к = п
D-^-(k-l)If-TkU
VZ = V
п
к = п
¦г JJ
V, S = 1, п (12)
D-(U-I)Lf-TkU
z.
Далее производим замену независимой переменной:
п
к=п
D-(U-I)Lf-TkU
Z = V
п
к=п
UDt-(U-l)Lf-rkU
2 г
= V
п
к=п
UDt-(U-l)Lf-rkU
U(D1-T1)Z.
260 ГЛАВА 5
D-(s-l)^-r3U
то придем к факторизации
п
D
Dv
(к-I)
DU U
rkU
y = vUn]l(Dt-rk)z = 0, (14)
к=п
что соответствует уравнению (3).«
Преобразование (2) охватывает следующие важные преобразования: преобразование KJI (точечное преобразование)
у = v(x)z, dt = u(x)dx,
(15)
точную линеаризацию (вообще говоря, неточечное преобразование) нелинейных автономных уравнений
У = v(y)zi dt = u(y)dx, u(y(x))v(y(x)) ф 0, Ух Є I = {x\a < x < b},
(16)
точечную линеаризацию
t = f(x,y), z = <p(x,y),
d(t,z) d(x,y)
txZy tyZx ф 0,
которая соответствует (2) при u\y = U2x, сохраняющую расслоение точечную линеаризацию
t = f(x), z = ip(x,y),
преобразование
у = v(x, y)z, dt = и(х, y)dx, соответствующее точечной симметрии С. Ли с генератором
X = ?(х, у)д/дх + т](х, у)д/ду.
(17)
(18) (19)
(20)
Теорема 2. Для того чтобы уравнение (1) суперпозицией преобразований (15) и (16), а именно преобразованием
у = vi(x)v2(y/vi(x))z, dt = ui(x)u2(y/v\(x))dx
(21)
Т. к. справедливо операторное тождество
U3'1 = Us(Dt - rs), s = TT/n, (13)
1. Линеаризация уравнений и факторизация 261
приводилось к уравнению (3), необходимо и достаточно, чтобы имела место коммутативная факторизация
ПГ 1 v\ V2 + V1VtY і ,,ч,,ч
[ukD - ViV2U1U2 -Tk]V-O1Y = y/Vll ( * ) = d/dy, (22)
k=l
или некоммутативная факторизация
ri [d - Ik - (fe - !)ё - Iу' - (fe -1^1" -rfcMi4y=°' (23)
k=n
при этом диаграмма
A-J+B
ЇЧ> і 9 (24)
c-Ud
является коммутативной, где преобразования f,g,(puxjj имеют соответственно вид
/: V = V1(X)Y1 ds = u1(x)dx; (25)
g : Y = v2(Y)z, dt = u2(Y)ds; (26)
<р: y = v2(Y)P, dq = u2(Y)dx; (27)
ф : P = V1(Q)Z, dt = u1(q)dq. (28)
А обозначает множество уравнений (1), (23), В — множество нелинейных автономных уравнений, имеющих факторизованный вид
nKif-<.-.)gf-™<n]v-o,*.-& <»>
/с=п
С представляет множество приводимых линейных уравнений
к=п
a d — множество линейных уравнений (3), (7).
• Формулы (22) и (23) легко следуют из (4) и (5) в силу (21). Проверим коммутативность диаграммы, т.е. выполнение условия fog = if оф. Применяя к левой части уравнения (23) преобразование /, получим факторизацию
^ П [D> - If - (fe - 1^f - ^MY)]Y (31)
к=п
262
Глава 5
в силу операторных тождеств
D
V1
(к- 1)
U1
V. V2
2Y' -(к - TkU1U2
V1
V1
D - (к - 1)й\ - - (к - l)w2Y' -
(32)
D-(I-I)1^-^Y'-(I-I)^2Y'-T1U1U2
.1-і
D-~\Y'-(1-I)^Y'-пи2
2 vi
I = 1,
(33)
Факторизация (31) дает уравнение В, т.е. (29). Применим теперь к (31) преобразование д (26). В силу операторных тождеств
_hdY_
" W2 ds
V2(Y)
V2(Y)
Ds-(k-l)^-rku2(Y)
п л\и2 dY lv\
( ]^1ь~ГІ 2( }
.1-1
: ui, [Dt — n], I = l,n,
использованных в (31), придем к выражению
V1UTv2U21 Y[ (Dt - Tk)Z1
(34)
(35)
(36)
к=п
что и приводит к уравнению (3), (7). Т. е. g(f(A)) = D. Остается показать, что Ip(Lp(A)) = D. Применяем преобразование ср (27). В силу операторных тождеств
D
V1
—Y - (к-1)—Y -TkU1U2
V2
= V2
D
(37)
1. Линеаризация уравнений и факторизация 263
3B последнее время в работах Л. М. Берковича и И. С. Орловой были построены автономные уравнения 4-6 порядков, а также нелинейные и неавтономные уравнения 2-го и 3-го порядков, допускающие точную линеаризацию (см. работы Беркович, Орлова [73], Орлова [201], Berkovich, Orlova [271-273]).
П-(1-1)щ-щ-(1-1)7Г2У'-T1U1U2] vt1 =
=«'2[^-^-('-1)^-Ч'г=^ (38)
—2 П - WrJc1 {к ^ - rfcMl(9)]P' (39)
придём к уравнению (30). Если теперь применить к (39) преобразование (28), то вновь придем к выражению (36), что приводит к уравнению D, т. е. к (3), (7)..
Заметим, что если произвести факторизацию согласно (4) или (5), то класс линеаризуемых в силу преобразования (2) уравнений (1) сохраняет свою форму при всевозможных преобразованиях типа (2). Это позволяет ставить для уравнений (1) задачи о преобразовании их в себя или к некоторому заранее заданному виду (но той же структуры), а также о редукции к каноническим формам.
