Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
11. Интегрируемые задачи механики с точки зрения методов преобразований ОДУ рассматривались в работах (Беркович [28, 37, 65], Беркович, Нечаевский [68, 70, 71]).
12. Классификация нелинейных уравнений со степенной нелинейностью была впервые проведена в работах (Berkovich [259, 264]).
13. Групповой анализ уравнений п-го порядка был проделан в работах (Беркович, Попов [75], Berkovich, Popov [274]).
Глава 5
Новый метод точной линеаризации
«Необходимо создать нелинейную культуру, включающую надежный математический аппарат и физические представления, адекватные новым задачам, выработать нелинейную интуицию, годную там, где оказывается непригодной интуиция, выработанная на линейных задачах».
А. А. Андронов
«Мы обратим внимание... на такое обстоятельство: в системе представлений классической механики и математики появление интегралов в консервативных системах (законов сохранения) связывается почти всегда с группой Ли симметрии данной задачи. Других фундаментальных алгебраических механизмов интегрируемости ранее известно не было».
С. П. Новиков
За последние 30-35 лет наблюдается взрыв активности в изучении нелинейных явлений. Мотивации такой активности можно найти как в самой математике, так и в проблемах гидродинамики, физики плазмы, теории элементарных частиц, общей теории относительности, теории солитонов и др. Нелинейные задачи становятся объектами широкого фронта исследований. Наиболее эффективное развитие имеет место в области получения точных аналитических решений. При этом возникают различные подходы к их получению. Некоторые из этих подходов связаны с тем или иным преобразованием нелинейных уравнений в линейные.
Автором ещё в 1979 г.1 [34] был подробно представлен метод точной линеаризации (MTJI) для нелинейных автономных уравнений 2-го порядка путём нелинейной замены зависимой и независимой переменных.
'Доклады, посвященные этому методу, были сделаны ранее в 1974, 1976 и 1977 гг. (см. примечания к гл. 5).
1. Линеаризация уравнений и факторизация
257
Независимо от этого в 1984 г. В. П. Масло в с соавторами опубликовал работы (Авдонин, Белов, Маслов [2]; Волосов, Данилов, Маслов [96]), в которых к некоторым конкретным нелинейным уравнениям были применены линеаризующие их замены переменных.
Заметим, что линеаризация при помощи преобразования зависимой переменной применялась в работах Пенлеве (Painleve [378-381]), а с помощью преобразования независимой переменной — в работах Зундмана (Sundman [406]) и Чаплыгина [230].
В данной главе представлен метод точной линеаризации нелинейных неавтономных уравнений п-го порядка, включающий в себя как точечные, так и неточечные преобразования зависимой и независимой переменных. Он характеризуется следующими особенностями: порядок уравнения не меняется, структура исследуемых классов определяется факторизациями через нелинейные дифференциальные операторы первого порядка. Детально исследуются автономные уравнения. Для них найдены явные виды линеаризующих подстановок. Они соответствуют новому принципу нелинейной суперпозиции.
1. Линеаризация уравнений и факторизация
Теорема 1 (Беркович [62], Berkovich [255, 256, 267]). Для того чтобы уравнение
F(x,y,y',...,yM)=0 (1)
обратимым преобразованием вида2
y = v(x,y)z, dt = u4(x,y)dx + u2(x,y)dy, (2)
где v, ui и U2- достаточно гладкие функции в некоторой области Т(х, у), не аннулирующиеся в ней, привести к линейному автономному <
z(n\t)+bn-1z(n-1\t) + ... + b1z/(t) + boz(t)=0, bk= const, (3)
необходимо и достаточно, чтобы (1) допускало следующую факторизацию через нелинейные дифференциальные операторы 1-го порядка
F
k = l
1 n Vx + VyV
Ui + u2y' v(ui + и2у')
У=0 (4)
2Мы не полностью описываем классы преобразований, с которыми будем иметь дело, если не считать самых общих характеристик. Впрочем, для автономных нелинейных уравнений, как ранее для линейных приводимых уравнений, применяемые преобразования будут получены в явном виде.
258 ГЛАВА 5
F
п
к=п
Vx + VyV' D(U1+и2у')
D-----(к- I)-¦----Tk(U1 + и2у )
U1 + и2у
у = 0
(5)
(некоммутативная факторизация), где D = d/dx, a rk суть корни характеристического уравнения
rn+bn-ir11-1+ ... + Ъ1Г + Ъо=0. (6)
• Представим (3) в виде факторизации
п 1
\\(Dt-rk)z = \\(Dt-rk)z = 0, D1= djdt (7)
k = l
k=n
(для операторов с постоянными коэффициентами она коммутативна). Применим к (7) преобразование, обратное к (2):
z = v 1J/, dx = 1/(U1 + u2y')dt
(8)
п
і
Ui+U2y
J и .АХ Iu1 + и2у
п
к=п
1
U1 + и2у
-,D-Tk
к=п
і
V
1
-.D
ил_+и2у
Dv
иг+и2у' V(U1 +и2у')
lD-^\v = 2/ = 0,
где Dv = Vx + vyy'. Используя операторное тождество
( —~г—~ів -Гк ) \ = \
\гл + и2у' J и и
1
-,D -
Dv
придем к выражению
ш
к=1
-.D
U1 + и2у' V(U1 + и2у') Vx + Vy у'
--гк
(9)
U1 + и2у' V(U1 + и2у')
¦ Гк
2/ = 0,
что соответствует коммутативной факторизации (4). Факторизация (5) может быть получена из (4) следующим образом. Последовательно применяя легко проверяемое тождество
