Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Беркович Л.М. -> "Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений" -> 70

Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.

Беркович Л. М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений — Москва: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 464 c.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка): faktorizachiya-i-preobarazovaniya-differencial.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 130 >> Следующая


252

Глава 4

Упражнение 3. Пусть дано уравнение

у"±ху±у2=0. (23)

Можно ли уравнение (23) проинтегрировать в замкнутом виде?6

Указание. См. пп. 2-4 и работы (Беркович [58], Berkovich [254]).

7. Классификация ОДУ п-го порядка со степенной нелинейностью

В данном параграфе даётся кратко классификация уравнений со степенной нелинейностью порядка п ^ 3, используя преобразование KJI и канонические формы Альфана и Форсайта для ЛОДУ-n. Мы имеем для п = 2 обобщённое уравнение Эмдена-Фаулера

у" + ai{x)y' + а0(х)у + f(x)yn = 0, (1)

которое преобразованием КЛ у = v(x)z(t), dt = u(x)dx сводится к единственной канонической форме

z + <f(t)zn=0. (2)

Мы подробно исследовали (1), (2), когда они приводятся к автономному виду (см. пп. 2-3).

Пусть дано нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка п (НОДУ-п) (п ^ 3)

»(п) + ЦЗадМ)+#" = о. акеСп-к(і), (3)

к=1 ^ '

Теорема 1 (см. теорему 3.6.3, табл. 18, а также Berkovich [259, 264]). Множество уравнений (3) распадается на п—1 классов в соответствии с каноническими формами Альфана для ЛОДУ-п.

Пример 1 (Berkovich [259]). Пусть п = 3. Соответствующие канонические формы имеют вид

z +3h(t)i + (|ft(t) + l)z + go3(t)zm = О,

z +9i3(t)zm = О,

6C этим вопросом обратился к автору проф. С. Н.Кружков (незадолго до своей безвременной кончины), узнав от проф. А. Ф. Филиппова, что автор провёл исследования по интегрируемости обобщённого уравнения Эмдена - Фаулера.

7. Классификация ОДУ п-го порядка со степенной нелинейностью 253

где

h(t) = H(x(t)), Н(х) = A2I-2'3 + (7I02 - 6/0^)/(27/08/3),

X = x(t) является обращением интеграла t = fx \/lo(A)dx.

Пример 2. Пусть п = 4. Соответствующие канонические формы имеют

вид

ziv + 2h(t)z + (2h(t) + 4)i + k(t)z + gM(t)zm = 0,

*o = ^)=("> +if-if) ^

(x = x(t) есть обращение интеграла t = fx yIo(A)dx),

ziv + 2H1Z + 2hlZ + (1 + + ^-hj)z + gu(t)zm = 0,

(x = x(t) есть обращение интеграла t = fx yfh~~idx),

ZlV+92i(t)zm = 0.

Теорема 2 (см. теорему 3.6.5, табл. 20, а также Berkovich [259, 264]). Множество уравнений (3) распадается на п — 1 классов в соответствии с каноническими формами Форсайта для ЛОДУ-п, т. е.

z(n){t)+ (^/fcs(i)>-fc)(*)+5,(*)^ = 0,

k=s+3 ^ '

S =0,72-2.

7.1. Уравнения со степенной нелинейностью, приводимые к автономному виду

Случай п = 2 уже был рассмотрен ранее (см. пп. 2 и 3). Теорема 3. Для того чтобы уравнение

LnV + f(x)ym = 0

254

Глава 4

преобразованием KJI приводилось к автономному виду

Mnz + k z'



О,

необходимо и достаточно, чтобы дифференциальное выражение Lny было приводимым и выполнялось условие

Следствие. Решения нелинейного уравнения, порожденного приводимым линейным уравнением Lny = 0, то есть уравнением

выражаются в терминах линейного уравнения

Y" + -^-rA2Y = О, п + 1

что соответствует определенному принципу нелинейной суперпозиции (см. детали в теореме 3.9.2).

Другие важные классы систем, приводимых к автономному виду, поставляют нестационарные задачи небесной механики (см. гл. 6).

Примечание при корректуре. Классификация нелинейных ОДУ со степенной нелинейностью подробнее изложена в работе Berkovich L. М. Classification of n-th order ordinary differential equations with power non-linearity, Сб. Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания. Уфа, 2002, 174-184.

f(x) = kunv

n„,l —m

1+и

Ьпу-Ьпуг-п =0, Ьі = 0, Oi = 0,

Примечания к гл. 4

1. Метод автономизации получил развитие, начиная с работ (Беркович [25, 26]); связь с теорией групп Ли отражена в (Беркович [48]). В работе (Sarlet, Prince, Grampin [397]) для изучения групповых свойств ОДУ был применен так называемый метод сопряженных симметрии.

2. Системы нелинейных уравнений, приводимые к автономному виду, рассмотрены в работе (Беркович, Розов [78]).

3. Классическое уравнение ЭФ и некоторые его обобщения рассматривались в работах автора [27, 58, 254] (см. также Leach [343]).

4. Результаты п. 5 частично отражены в докладе (Беркович, Розов [79]).

5. Исходя из работы (Беркович [26]), в работах (Марков [173], Беркович, Розов [77]) построены весьма общие классы уравнений 2-го и 3-го порядков, допускающие автономизацию.

6. В работе (Беркович, Розов [76]) впервые утверждался приоритет Ермакова В. П. [122] относительно уравнения, многие годы называвшегося по имени Pinney Е. [385].

7. Геометрия систем Ермакова изучалась в работе (Athorne [245]).

8. Системы типа Ермакова встречаются не только в задачах классической, но и квантовой механики (Lewis Н. R. Jr. [347]).

9. Для нахождения первых интегралов систем Ермакова различные методы применялись в работах (Sarlet, Bahar [395], Ray, Reid [390]).

10. Уравнение Ермакова (5.1) играет важную роль в т.н. методе параболического уравнения в задачах дифракции коротких волн (см. Бабич, Лазуткин [11] и особенно Бабич, Булдырев [10]), где ему посвящено специальное дополнение 3). Заметим, что связь нелинейного уравнения Ермакова с присоединенным линейным уравнением (5.3) (принцип нелинейной суперпозиции (5.2)) получена в [10], опираясь на соображения геометрической оптики. По-видимому, авторам [10] были не известны ни работа В.П.Ермакова [122], ни работы Л.М.Берковича [32, 38].
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 130 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed