Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
252
Глава 4
Упражнение 3. Пусть дано уравнение
у"±ху±у2=0. (23)
Можно ли уравнение (23) проинтегрировать в замкнутом виде?6
Указание. См. пп. 2-4 и работы (Беркович [58], Berkovich [254]).
7. Классификация ОДУ п-го порядка со степенной нелинейностью
В данном параграфе даётся кратко классификация уравнений со степенной нелинейностью порядка п ^ 3, используя преобразование KJI и канонические формы Альфана и Форсайта для ЛОДУ-n. Мы имеем для п = 2 обобщённое уравнение Эмдена-Фаулера
у" + ai{x)y' + а0(х)у + f(x)yn = 0, (1)
которое преобразованием КЛ у = v(x)z(t), dt = u(x)dx сводится к единственной канонической форме
z + <f(t)zn=0. (2)
Мы подробно исследовали (1), (2), когда они приводятся к автономному виду (см. пп. 2-3).
Пусть дано нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка п (НОДУ-п) (п ^ 3)
»(п) + ЦЗадМ)+#" = о. акеСп-к(і), (3)
к=1 ^ '
Теорема 1 (см. теорему 3.6.3, табл. 18, а также Berkovich [259, 264]). Множество уравнений (3) распадается на п—1 классов в соответствии с каноническими формами Альфана для ЛОДУ-п.
Пример 1 (Berkovich [259]). Пусть п = 3. Соответствующие канонические формы имеют вид
z +3h(t)i + (|ft(t) + l)z + go3(t)zm = О,
z +9i3(t)zm = О,
6C этим вопросом обратился к автору проф. С. Н.Кружков (незадолго до своей безвременной кончины), узнав от проф. А. Ф. Филиппова, что автор провёл исследования по интегрируемости обобщённого уравнения Эмдена - Фаулера.
7. Классификация ОДУ п-го порядка со степенной нелинейностью 253
где
h(t) = H(x(t)), Н(х) = A2I-2'3 + (7I02 - 6/0^)/(27/08/3),
X = x(t) является обращением интеграла t = fx \/lo(A)dx.
Пример 2. Пусть п = 4. Соответствующие канонические формы имеют
вид
ziv + 2h(t)z + (2h(t) + 4)i + k(t)z + gM(t)zm = 0,
*o = ^)=("> +if-if) ^
(x = x(t) есть обращение интеграла t = fx yIo(A)dx),
ziv + 2H1Z + 2hlZ + (1 + + ^-hj)z + gu(t)zm = 0,
(x = x(t) есть обращение интеграла t = fx yfh~~idx),
ZlV+92i(t)zm = 0.
Теорема 2 (см. теорему 3.6.5, табл. 20, а также Berkovich [259, 264]). Множество уравнений (3) распадается на п — 1 классов в соответствии с каноническими формами Форсайта для ЛОДУ-п, т. е.
z(n){t)+ (^/fcs(i)>-fc)(*)+5,(*)^ = 0,
k=s+3 ^ '
S =0,72-2.
7.1. Уравнения со степенной нелинейностью, приводимые к автономному виду
Случай п = 2 уже был рассмотрен ранее (см. пп. 2 и 3). Теорема 3. Для того чтобы уравнение
LnV + f(x)ym = 0
254
Глава 4
преобразованием KJI приводилось к автономному виду
Mnz + k z'
,т
О,
необходимо и достаточно, чтобы дифференциальное выражение Lny было приводимым и выполнялось условие
Следствие. Решения нелинейного уравнения, порожденного приводимым линейным уравнением Lny = 0, то есть уравнением
выражаются в терминах линейного уравнения
Y" + -^-rA2Y = О, п + 1
что соответствует определенному принципу нелинейной суперпозиции (см. детали в теореме 3.9.2).
Другие важные классы систем, приводимых к автономному виду, поставляют нестационарные задачи небесной механики (см. гл. 6).
Примечание при корректуре. Классификация нелинейных ОДУ со степенной нелинейностью подробнее изложена в работе Berkovich L. М. Classification of n-th order ordinary differential equations with power non-linearity, Сб. Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания. Уфа, 2002, 174-184.
f(x) = kunv
n„,l —m
1+и
Ьпу-Ьпуг-п =0, Ьі = 0, Oi = 0,
Примечания к гл. 4
1. Метод автономизации получил развитие, начиная с работ (Беркович [25, 26]); связь с теорией групп Ли отражена в (Беркович [48]). В работе (Sarlet, Prince, Grampin [397]) для изучения групповых свойств ОДУ был применен так называемый метод сопряженных симметрии.
2. Системы нелинейных уравнений, приводимые к автономному виду, рассмотрены в работе (Беркович, Розов [78]).
3. Классическое уравнение ЭФ и некоторые его обобщения рассматривались в работах автора [27, 58, 254] (см. также Leach [343]).
4. Результаты п. 5 частично отражены в докладе (Беркович, Розов [79]).
5. Исходя из работы (Беркович [26]), в работах (Марков [173], Беркович, Розов [77]) построены весьма общие классы уравнений 2-го и 3-го порядков, допускающие автономизацию.
6. В работе (Беркович, Розов [76]) впервые утверждался приоритет Ермакова В. П. [122] относительно уравнения, многие годы называвшегося по имени Pinney Е. [385].
7. Геометрия систем Ермакова изучалась в работе (Athorne [245]).
8. Системы типа Ермакова встречаются не только в задачах классической, но и квантовой механики (Lewis Н. R. Jr. [347]).
9. Для нахождения первых интегралов систем Ермакова различные методы применялись в работах (Sarlet, Bahar [395], Ray, Reid [390]).
10. Уравнение Ермакова (5.1) играет важную роль в т.н. методе параболического уравнения в задачах дифракции коротких волн (см. Бабич, Лазуткин [11] и особенно Бабич, Булдырев [10]), где ему посвящено специальное дополнение 3). Заметим, что связь нелинейного уравнения Ермакова с присоединенным линейным уравнением (5.3) (принцип нелинейной суперпозиции (5.2)) получена в [10], опираясь на соображения геометрической оптики. По-видимому, авторам [10] были не известны ни работа В.П.Ермакова [122], ни работы Л.М.Берковича [32, 38].