Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
х(х - a)nvun[z^n\t) + V (™Vz(™-fc)(?)] + f {VX1^z) = 0. fc=i ^
Итак, если (25) приводится к автономному виду
z(n) {t) + J2 (Л bkz<-n-V (t) +J(Z)=O7 (26)
k=l ^ '
то для преобразования KJI функции v(x) = і™-1, и(х) = х_1(х — а)^1. Кроме того, они удовлетворяют уравнениям:
V
2
(и) - bnunv = 0,
+ ^?«2 = «), В2 = Ъ2-Ы (27)
V = іГ(п-1)/2 exp(6i Judx). (28)
Так как v = хп~г, то Ъп = 0. Из формул (27), (28) найдем Ъ\ жЬ2.
и = х^п-^1\х - а)^п-^1\х - a)hllax-hl'a = х"'1;
O1 = а(1 - п)/2, B2 = -а2(п + 1)/12, Ь2 = а2(п - 2)(Зга - 1)/12.
Для нахождения линейной части преобразованного уравнения воспользуемся видом общего решения уравнения
У
W=O: (29)
5. Некоторые обобщенные уравнения Ермакова ... 243
J2 s(n, k)an-kz{k) (t) +f(z) = 0, (32)
fc=o
где s(n, к) суть числа Стерлинга 1-го рода, определяемые соотношениями
п
s(0,0) = 0 = s(n, 0), s(n, п) = 1 и t(t - 1)... (t - п + 1) = Y s(n> к)*к-
k=0
Отметим, что в справочнике [126] не был указан преобразованный автономный вид, соответствующий уравнению (25), для любого п.
При п = 2 уравнение (32) принимает вид т.н. полулинейного ОДУ z —az + f(z) = 0, играющего важную роль в теории уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова, а также ряда других нелинейных уравнений теплопроводности и диффузии (см. гл. 7).
у = хп~г [с\ exp(ri j udx) + C2 exp(r2 j udx + ... + Cn exp(rn j udx)] =
= C1 +C2X+ C3X2 + ... + CnX11-1, (30)
т. е. полинома (n — 1)-й степени с произвольными коэффициентами. Здесь Гк — корни характеристического уравнения
r"+it (jt)bkz(nk)=°'а exp^rfc /udx^= ^ ~ аУк/ах~Гк/а-
Чтобы общее решение уравнения (29) могло быть представлено в виде (30), необходимо потребовать: Гк = а(к — 1). В результате получим следующее предложение.
Предложение 2. Уравнение (25) преобразованием KJI
y = xn~xz, dt = х~1(х — a)~1dx
приводится к автономному виду, записанному с помощью факторизации:
Dt(Dt - O)(D1 -2а) ¦¦¦ (D1 - (п - l)a)z + f(z) = 0. (31)
Уравнение (31) можно представить также в стандартном виде, соответствующем (26):
244 Глава 4
У +a0(t)y = Ц У
имеет первый интеграл
\(±у-уХ? + Цф*=1.
Действительно, из системы (1) следует соотношение
d(xy — ух) = —^Щ-dt.
У
(D
(2)
Умножив его на (ху — ух), получим выражение
у -У у
(ху - yx)d(xy - ух) = -^d(fj),
откуда следует (2).»
Систему (1) будем называть системой Ермакова, а первый интеграл (2) — инвариантом Ермакова.
Инвариант Ермакова (2) появился позднее также в работе (Lewis [347]), и его часто называют инвариантом Льюиса.
Естественное обобщение системы (1) дает система уравнений, появившаяся в работе (Ray, Reid [389],см. также Athorne [246])
X +ao(t)x = J3-Z(I), (3)
У +a0(t)y = ±дф. (4)
6. Системы Ермакова
6.1. Основные примеры
В п. 4 данной главы, а еще ранее в гл. 2, уже рассматривалось уравнение Ермакова.
Кроме того, имеется неавтономная динамическая система двух уравнений 2-го порядка, одним из которых является упомянутое уравнение. Для нее первый интеграл (инвариант системы) естественным образом находится.
Предложение 1 (Ермаков [122], см. также Беркович [32]). Динамическая система
' 'і +a0(t)x = О,
6. Системы Ермакова
245
Нетрудно показать, что система (3), (4) имеет первый интеграл
Если вместо системы (3), (4) рассмотрим систему уравнений (3) и
У+ao(t)y = ±дф, (41)
то соответствующий первый интеграл будет иметь вид
(см., например, Govinder, Athorne, Leach [314]).
Эквивалентной к системе уравнений (3), (4) является система
X +a0(t)x = -4-/(1), (6)
лгу
У +a0(t)y = -4-5(f )• (7)
Она рассмотрена в работе (Ray [388]) и имеет первый интеграл:
у/х х/у
-(ху — ух)2 + I f(u)du+ I g(u)du = I.
6.2. Обобщенные системы Ермакова
В работе (Lutzky [360]) была рассмотрена следующая обобщенная система Ермакова:
х) +a0(t)xi = у~3фі(хх,... ,хп,у), i = l,n, (8)
у+a0(t)y = у~3, (9)
246
Глава 4
где фі — однородные функции 0-го измерения от своих аргументов. Частным случаем системы (8), (9) является система
f x1 +o0(I)x1 = ^G(^) У У
X2 +a0(t)x2 = -fG(^) У У
{ У +a0(t)y = у~3.
Другим примером обобщенной системы Ермакова является система, появившаяся в работе (Ray [387]):
Qi +a0(t)qi = -piFx3(xi,.. .,Xn), X1 = qilPu Fxi Pi +ao(t)Pi = -qiGZ3{x1,Xn), xi= pij qi, G-
dF
dxi'
dG
д Xi
В работе (Sarlet, Bahar [395]) с помощью теоремы Нётер, примененной к лагранжиану
1
•2 2
р — Lu
(V--iEA(?)2m|-1
показано, что уравнение движения
хр ^
где X удовлетворяет уравнению Ермакова
X +Lj2(t)x = кх~3, имеет своим первым интегралом выражение
1
Е<
2т і
(рх — хрУ
Замечание 1. Тот же результат можно получить, не прибегая к теореме Нётер, а используя метод автономизации.
6. Системы Ермакова
247
6.3. Системы Ермакова принадлежат к классу динамических систем, приводимых к автономному виду
Автономизация систем Ермакова.
Пусть Xi, Х2 есть фундаментальная система решений уравнения
