Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
[Xi,Xk] = (X1(^) _Xfe(6)) JL + (X1(TIk)-XM)-^, (15)
гдеХ^ =Іі(х, у)-^-+щ(х, у)А. В силу формулы (9) имеем Xj = ^(х)-^- + + ^'г(х)у-§у~' а из (15) следует:
[хг,хк]-Ы'к-Ш§- + \Ы1-^)у§-у, (16)
и простые расчеты дают формулы (14). •
где ^(х) удовлетворяет уравнениям
+ 4а0{х)С + 2а'0(х)? = 0,
238 Глава 4
Теорема 3. Если линейное уравнение
у" + аг(Х)у'+ а0(Х)у = О (17)
преобразованием KJI приводится к автономному виду
z +b0z = О, то и(х) удовлетворяет уравнению КШ-2
\ IT - I & + 6O«2 = До, До = ао - 1/4а2 - 1/2^1, a v(x) — нелинейному уравнению вида
у" + а\(х)у' + ао(х)у — bo ехр(—2 J а\(х)ах)у~г = 0. (18) При этом уравнение (18) допускает точечные симметрии вида (8), или X = ^x) + \{?'{х) - а1Шх))у-^,
где ?(х) удовлетворяет уравнению
Є" + 4А0(х)Є + 2A0(XY = O1
причем уравнение (18) допускает трехмерную алгебру Ли L3 с генераторами
X1 =ехр( J UXdx)IyI(X)-^- + Уі(х)у[(х)у-щр,
/91 9
a1dx)[yi(x)y2{x) — + ^(yi(x)y2(x) + У2(х)у'1(х))у--],
X3 = ехр( J ^dx)Iy2 (х)-^ + У2(х)у'2(х)у-^},
где yi(x), у2(х) — линейно независимые решения уравнения (17), коммутаторами которых служат выражения (14), представляющие алгебру Ли sl(2,R).
• Выражения для генераторов Xi следуют из теоремы 2.5.1. Далее, исходя из (15), найдем формулу, обобщающую (16):
[Хг,Хк] = U-C1: + \тй-Ш-аШ'к-Ш]У§--
5. Некоторые обобщенные уравнения Ермакова ... 239
или вида
Cm. также теорему 3.9.2.
При этом, учитывая, что вронскиан W = у\у'2 — Уіу'\ = ехр(— J a\dx), придем к формулам (14). •
Уравнение (18) будем называть обобщённым уравнением Ермакова: для него справедлив принцип нелинейной суперпозиции типа (2), где 2/1! У2 — ФСР уравнения (17).
Теорема 4. Если линейное уравнение
Lny = + ]Г (Л ак (х)у^ = О (19)
к=2 ^ '
является приводимым к уравнению с постоянными коэффициентами
MnZ ее (t) + Y2 [I )W = °. (2°)
к = 2 ^ '
то нелинейное уравнение5
1+п
ЬпУ-ЪпуТ^=0 (21)
имеет двухпараметрическое семейство решений
п-1
у=р{Ауі+ВуіУ2 + СуІ) 2 , B2-4AC = q,
p,q — фиксированные постоянные, yi, у2 — ФСР присоединенного линейного уравнения
У" + TT+-J^V = °> (22)
а также допускает генераторы точечных симметрии JIu (8), или
X = LJL - п ~ 1 и' JL
идх 2 и2Уду
где и(х) удовлетворяет уравнению КШ-2
lu" 3/U\2 3 г, „.2 _ 3 „ nTi--!{TT) ^--TTO2« — -ГТа2,
2 и 4^и' п + 1 n +1
240 ГЛАВА 4
Є' +^a2(X)CY-^-а'2(х)С = 0,
ні і ?2 б ^ бт, і п * -2Т + ^Па2^^П^ =0'
а ?'(х) = ((х) — уравнению
а'2С а'&" + AaW2C + 2("?^ - ^а^К = 0-
2) эдаолг уравнение (21) допускает трехмерную алгебру Ли L3, генераторы которой имеют вид
д п — 1 ?
X2 = У1{х)у2{х)— + —~-{yi{x)y'2{x) + У2(х)у'1(х))у—,
X3 = Уї(х)? + (п - 1)у2(х)у'2(х)у-^,
где уі(х), г/2 (ж) — линейно независимые решения уравнения (22), а коммутаторы удовлетворяют условиям (14), дающим представление алгебры Ли si(2,R). • Так как
то из (21) следует:
[Xu хк] = - ш§-х + ^1Wk' - Шу§-у
И несложные вычисления дают формулы (14). •
Частным случаем уравнения (21) является уравнение, рассмотренное в работах (Зайцев [125], Зайцев, Полянин [126]):
У
(4) = да/"5/3, a = const. (23)
где ?(х) удовлетворяет уравнениям
5. Некоторые обобщенные уравнения Ермакова ... 241
Предложение 1. 1). Автономное уравнение (23) допускает трехмерную алгебру Ли точечных симметрии L3 с генераторами
х*=Ь х^х1+ЬЬ Хз=х21+3хуЬ
имеющими таблицу коммутаторов (14);
2) обладает инвариантным решением у = (16/9а)5/8:г3/2;
3) преобразованием Куммера-Лиувилля у = X3I2Z, dt = x~xdx приводится к новому автономному виду
z^(t)-^z"(t) + ^z = az-5/37
4) преобразованием Куммера-Лиувилля у = x3z, dt = x~2dx приводится в себя;
5) обладает двухпараметрическим семейством элементарных решений
y = k(Ax2+Bx + C)3/2, В2-AAC = I, к = (2а)3/23~2.
5.2. Автономизация уравнений высших порядков
Прежде всего рассмотрим класс уравнений
у(п) + t Ck) а^х)у(п~к) + ъУпа+1 = о- (24)
к=2 ^ '
Теорема 5 (Беркович [25]). Если линейное уравнение (19) приводимо к уравнению с постоянными коэффициентами (20) преобразованием вида
у = vz, dt = vadx,
то нелинейное уравнение (24) приводится к автономному уравнению
z(n\t) + t(nk)hz{n-k){t)+bzna+1 = 0
k = 2 ^ '
и допускает инвариантное решение
y = pv(x), р=(-Ь0/Ь)г'{па\ • Доказывается непосредственным счётом. •
242
Глава 4
Уравнение Ермакова и его обобщения, а также уравнение Куммера-Шварца 2-го порядка могут быть использованы при автономизации уравнений 2-го и более высокого порядков. Так, например, немало уравнений, встречающихся в справочниках (Камке [139], ч. 2, гл. 6, 7; Зайцев, Полянин [126], ч. 1, гл. 2-4), могут быть упрощены или даже проинтегрированы указанным методом.
Иллюстративный пример (см. Зайцев, Полянин [126], N 4.2.42). Дано уравнение
х(х - а)пу(п*> + /(ух1'71) = 0, а ф 0. (25)
Для приведения (25) к автономному виду применим преобразование KJI у = v(x)z, dt = u(x)dx. Получим следующее выражение
