Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
и2 = + Ву2У1 + CyI)-1, S2 = B2 - AAC < 0;
U3 = F(ay2+?yi)-2, S3 = O;
U4 = Fy~1(ay2 + ?yi)'1, S4 = а2 > 0;
и5 = Fy~2> F = ехР(- / aidx), S5 = 0, і = 1, 2, у2 = yi J Fy~2dx,
где Sk =b\— Ab0, к = 1,5 (см. гл. 2, п. 5, табл. 6).
Лемма 3. Множитель преобразования КЛ (5) принимает один из следующих видов соответственно:
1 Ьі 1 _ Ьі
1 ^
234 Глава 4
h = F2{aiy2 + ?iyi) 2 {a2y2 + ?2yi) 2 2^,
?i = Ь\ - Ab0 = (a1?2 - a2?4)2 > 0;
71 + 3
h = F2 (Ay2 + Ву2У1 + Су2)'— еМ±9П b'arctg2^ + ^
z у— д2 v—d2yi
S2 = В2- AAC < 0;
/з = FHam + .%¦)-'»«»«ф^^^Ь-), .з = 0;
_«+3 Ьі(І-п) _«+З^Ьі(1-и)
/4 = F2(ay2 + ?Vl)~ 2 ± 2« уі 2 2а , 54 = а2 > 0;
/5 = ^УГ(И+3)ехр(±^61|), *5=0,
_ (6)
где 5k = Ь\ — 46о, к = 1,5, -F(a;) = ехр(— J a4dx).
• Доказательство непосредственно следует из лемм 1, 2 и 3. Напомним, что уі, г/2 = 2/1 / Fy^ 2 dx — ФСР линейного уравнения
2/" + аіУ + а0у = 0.. (7)
Формулы (6) дают функциональную (конечную) зависимость для законов изменения f(x). Они являются также решениями соответствующих
V3 = (аУ2 + ?yi) ехр[± blV) ], S3 = 0;
2а(ау2 + ?yi)
-±-^- І _ії_
г,4 = Уі2 (ш/2+й/і) 2^ 2^, S4 = а2 > 0;
W5 = yiexp(±^-), ?5 = 0,
где 5k = Ъ\ — 4&о, /с = 1,5 (см. гл. 2, п. 5, табл. 5). Найдем законы изменения f(x).
Теорема 1. Все законы изменения f(x) в уравнении (1), приводимом к автономному виду (2) преобразованием (3), даются следующими выражениями:
и+3 bi(l-n) и+3 Ьі
5. Некоторые обобщенные уравнения Ермакова.
235
ЛОДУ 2-го порядка, явный вид которых получается естественным путем. Но на этом не будем останавливаться. Заметим лишь, что упомянутые уравнения аналогичны модифицированным гипергеометрическим уравнениям (2.10') и что коэффициенты их выражаются через коэффициенты и фундаментальную систему решений уравнения (7).
Дальнейшее развитие исследований по ОУЭФ можно найти в работах: (Leach [343], Беркович [58], Berkovich [254], N. Euler [302]).
5. Некоторые обобщенные уравнения Ермакова и метод автономизации
5.1. Обобщения уравнения Ермакова
Уравнение Ермакова
у" + а0{х)у - Ъ0у~3 = 0 (1)
может быть обобщено в различных направлениях.
1°. Использование в качестве закона нелинейной суперпозиции вместо формулы
у = {Ayl + Ву1У2 + CyI)1'', (2)
в которой квадратичная форма от фундаментальной системы решений у\, у2 линейного уравнения
у" + а0{х)у = 0 (3)
возводится в степень 1/2 («закон 1/2»), формулы
Y = {Ayl + Ву1У2 + CyI)1Io1 афО (4)
(«закон 1/а»).
2°. Использование вместо у" + ао{х)у линейного дифференциального выражения у" + а\{х)у' + а0у .
3°. Использование приводимого линейного дифференциального выражения п-го порядка вместо линейного дифференциального выражения второго порядка.
Теорема 1. Пусть yi{x), у2{х) — фундаментальная система решений уравнения (3). Трехпараметрическое семейство функций (4) удовлетворяет нелинейному уравнению 3-го порядка
ау°-1у"' + За{а _ l)Ya-2Y'Y"+
+ а{а - 1){а - 2)Ya-3Y'3 + 2Y-a[a0{x)Y2a}' = 0, (5)
236
Глава 4
которое имеет первый интеграл
Y" + ^a0{x)Y = [±—JY'2Y2a-2 + kjY1-2", (6)
причем (4) — общее решение (6) при k = —1/(2Ot)(B2 — AAC)W2(у\, у2), W = г/1 у2 — У2У1 = const — вронскиан, k = 2bo/a (bo = —(В2 — AAC)/А).
• Исходим из того, что выражение, стоящее в круглых скобках формулы (4), удовлетворяет самосопряженному уравнению 3-го порядка
z"' + a0(x)z' + l/2a'0(x)z = 0.
Затем нелинейная подстановка z = У1/" приводит к виду (5). Простым счетом получается также выражение для константы к. •
При а = 2 из (6) получаем уравнение Ермакова, при а = —1 — уравнение Куммера-Шварца 2-го порядка, а при а = 1 — уравнение для определения координаты инфинитезимального оператора X, осуществляющего автономизацию (см. ниже уравнение (10)).
Теорема 2. 1). Уравнение Ермакова (1) преобразованием KJI
у = v(x)z, dt = u(x)dx, (v(x) = и^1/2), где u(x) удовлетворяет уравнению КШ-2
1 и" 3/«'\2 , і 2 /гу\
приводится к автономному виду
z + b0z - b0z~3 = 0, инвариантно относительно точечных симметрии с генераторами
v 1 д , v' д /о\
^ = ?+™?' (8)
или
х= 1д__1у/_ д_ идх 2иъуду
или вида
^ ч д , 1,и N д
5. Некоторые обобщенные уравнения Ермакова ... 237
Г1 е/2
а ?,'{х) = ((х) — уравнению
Є + 2а0(х)С = [^C'2 + 260ІГ1, (Ю)
а'оС" - а'о(" + 4O0OoC + 2(3о02 - 2о0о0')С = 0.
2) При этом уравнение (1) допускает трехмерную алгебру Ли L3, генераторы которой имеют вид
Xi = уЇ(х)? + уіШі (*)v§- , (п)
X2 = yi{x)y2{x)-^- + -^{yi(x)y'2(x) + у2(х)у[(х))у^ (12) Х3 = УІ(х)-^-+у2(х)у'2(х)у-^^ (13)
где yi(x), y2(x) — линейно независимые решения уравнения (3), а ненулевые коммутаторы дают представление алгебры Ли si(2, R) :
[X11X2]= X1, [X11X3]= 2X2, [X21X3]= X3. (14)
• Утверждения 1-й части теоремы можно получить непосредственным счётом. Более деликатной является 2-я часть теоремы. Здесь используется вид решений уравнения (7) (см. теорему 2.5.1 и п. 3 настоящей главы). Учитывая также формулу (9), получим выражения для генераторов (11)-(13). Для нахождения значений коммутаторов (14) воспользуемся известными формулами (см., например, Ибрагимов [134]):
