Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
+10A2(^ - 9^|- +12^3-) + 10A3(^ - 3^) + ЬА^- + ±Б5і'5 =
4ч
(6'
и система нелинейных уравнении относительно v = и .
v" - +2A2V -2B2 = 0, (7і)
v"> -l^f + l^ + 2A2v' + §A3v p3v^ = 0, (72)
v(iv) _v_v___ llv__t + 5Л!_5«__ Ъ_А v__ 50A„ 10a
V ig V + з v2 s v3 3^2 w ^ 9 1^2" ^ з ^3<; ^
+ ^«-^4^=0, (73)
_3
«(г,) + 10А2г/" + lOAgw" + 5A4v' + A5v - B5v 2 = 0. (74)
• Дадим схему доказательства (само же доказательство из-за громоздкости опустим). Прежде всего воспользуемся критерием эквивалентности уравнений (1) и (5), выраженным в форме факторизации соответствующих операторов L и Al:
і і
Ь= !)ТГ-/№))]> М=П[А-Ш)].
/с=5 /с=5
Далее применим дифференциальный аналог формул Виета. После громоздких вычислений придем к переопределенным системам нелинейных уравнений (6) и (7). •
5. Инварианты и канонические формы уравнений 5-го порядка
173
Теорема 4. Для того чтобы уравнения (1) и (5) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы была совместна следующая система нелинейных уравнений:
T'
\т2 + Bot'2
A2
Т" - 3TT' + T3 + 2A2T + ^B3t'3 = I
6TT''
43гр/2 _|_ 12Агр2грг
^1T4+ А2( — T'- ^0^2
9
T2)
10
(82
ЛзТ-
T{iv) _ ютт"' + 40T2T" - 20Т'Т" + 60TT'2 - 80T3T' + 16Т5 + 10A2(T"
-6TT' + 4Т3) + 10A3(T' - 2Т2) + 5A4T + 1B^'5 = 1A5. (84)
• Система (8) получается из (6) подстановкой T = t" Jt'. • Теорема 5. Для того чтобы уравнения (1) и (5) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:
(9) (10) (H)
I0(A) = U3I0(B),
.75Л(А)=и4.75Л(В), J5.2(A) = u5J5.2(B),
где и(х) = t'(x) удовлетворяет уравнению КШ-2 (б1).
• Можно формулы (9)-(11) получить из систем (7) и (8) как условия их совместности. •
Выражения для псевдоинвариантов J5^ и условных инвариантов I5,? представлены в табл. 17.
Таблица 17
к
•h,k
1
A4 - 2A3 + |А'2' - fA2
A4 — IA2 — Щ-А2, І5д = J5ii 70=о
2
A5 -§А4 + ЩА!1 - f A2"--fA2A3 + ±fA2A'2
A5 - 16A2A2 - 2A2",
^5,2 = J5,2 7o=-fS,i=0
174
Глава З
Заметим, что инвариант I0, а также условные инварианты I5^ могут быть получены из самосопряженного уравнения (Уз). Для этого перепишем уравнение (1)в виде
у" + 10А2у'" + 10а3у" + 5a4J/' + А5у = у" + 1oa2J/'"+ [15a2 + 10(a3 - §а2)]у" + [(9a2' + 16а2) + 5(a4 - |а'2' - f А22)]у'+
+ [(2a2" + 16a2a2) + (a5 - 2а'2" - 16а2а'2)]у = 0.
Непосредственно проверяется, что для всех преобразований переменных вида у = X~2(x)z, dt = Xdx в уравнениях (1) и (5) справедливы формулы
I0(A) = X3I0(B), I0(A) = a3 - |а'2,
15л(а) = XAhs(B), j5-2(a) = A5I5.2(?), где I5.!(а) и 15.2(а) находятся в табл. 17.
6. Инварианты и канонические формы линейных уравнений п-го порядка
6.1. Факторизация и критерий эквивалентности
Будем рассматривать уравнения (1.2) и (1.3), заданные в полуканонической форме. Соответствующие дифференциальные операторы в силу теоремы Мамманы (см. теорема 1.8.1) допускают следующие факторизации:
і і
L=\\(D-ak), M = l[(Dt-?k(tj).
к=п к=п
Теорема 1. Для эквивалентности уравнений (1.2) и (1.3) необходимо и достаточно, чтобы выполнялась факторизация
L=f[[D-i-(k-l)^-?k(t(x))}. (1)
k=n
Заметим, что факторизация (1) включает в себя не только преобразование типа KJI (1.4), но и информацию о «будущем» для уравнения (1.2), а именно то, что оно перейдет в (1.3).
6. Инварианты и канонические формы уравнений п-го порядка 175
Предложение 1. Множитель v(x) и ядро и(х) преобразования KJI связаны уравнением 1-го порядка
? + (п-1)|?=0,
или конечными формулами
п-1 2
v(x) = \и\ 2 , и(х) = V n_1. (2)
• Следует из факторизации (1) и дифференциального аналога формул Виета (лемма 1.8.1). •
Предложение 2. Для приведения (1.2) к (1.3) посредством преобразования (1.4) необходимо (а для п = 2 — также и достаточно), чтобы новая независимая переменная t(x) = J udx удовлетворяла уравнению КШ-3
{t, х} + -^-B2(t)t'2 = -^-А2(х). (3)
гг + 1 гг + 1
• Следует из факторизации (1), дифференциального аналога формул Виета, а также предложения 1. •
6.2. Присоединенные нелинейные уравнения и условия эквивалентности
Применяя преобразование^.4), (2), т.е.
п-1
у = \и\ 2 z, dt = u(x)dx, (4)
к уравнению (1.2), получим уравнение
ZM + Q (A2U-2 _ «±!„"„-3 + !L±iu*u-4y„-2)(t) + Q х
X [A3U-3-ЗА2и'и-4- -±-л"4+ 3(гг2+1)^%-5-3(гг2+1)^Ц-6] X
Xz^-3Ht) + [A4U-4 - QAWu-5 + --^ІА2и'2и-е-
( а-*\а " -5 , 3(n+1) (п + 59) ,4 _8 (п + 1)(п + 59) /2 „ _7
— (п + 5)А5и и H--—;-и U--:-U UU +
Io 4
176
Глава З
(n+1)(n+23U''2M-43(n+i)M'VM-«-^M(4)M-5l.(-4)(t)-
12
(n + l)
(n—1) , , »1 — 1
\Ы s-^ In
E
k=2
Ak[u
(n-l)
(n-fc)-i
2 1 U = O. (5)
Отметим, что коэффициенты преобразованной формы (5) представляют собой рациональные дифференциальные выражения от и, а в силу связи (2) они могут быть представлены и как рациональные дифференциальные выражения от V.
