Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
15Л(А) = A4 - |а'2' - fA2, 15.2(а) = A5 - 16A2A2 - 2А'2"
суть условные инварианты.
• Уравнение (1) подстановкой (2) приводится к виду
z{b) + 10(A2U-2 + 7,U-4U2 - и-3и") 'z +10(A3«-3 - ZA2U-4U - 9и-ви'3+
і п -5 / // 3—4 ft/\- і г- г 9 -5 (4) і -.о -6 ' /// —7 /2 // ¦
+9tt и и — —и и )z -\- о[——и ик ' -\- 18tt и и — 9Ьи и и -\-Z о
+14и"6м"2 + 72м" V4 + 2A2(-5U-V + 12u-6U2) - 6A3W-V+
+А4м~4]і + [A5U"5 - 10A4M-6U + 10A3 (6m~V2 - 2u"V) + 10A2(-24u"V3+
+18u~ Vu" — 2u-6u'") — 2u_6u" + 30u~ Vu'4' + 6Ow-Vw" — 240w~VV" —
-36Om-Vm"2 + 120Ow-VV - 720w-10w'6];s = 0.
5. Инварианты и канонические формы уравнений 5-го порядка 169
Класс
Инварианты
Преобразование у = u^2z, dt = Ufrdx
Каноническая форма Альфана
Io
ио = v7Zo
Основная (Но), зависит от 3-х параметров
Y1
Io = 0,
/5.1 ф0
ui = \фТъл
Первая вырожденная (Hi) зависит от 2-х параметров
Y2
Z0 = O=Z5.!,
/5.2 ф о
U2 = ?h~2
2-я вырожденная (H2) зависит от одного параметра
Y3
Io = /5.1 = /5.2 = 0
1 «з З/иЦ2 1 . 2u3 4 \из j -4 2
3-я (простейшая) вырожденная (H3) :
г<5) = 0
Введя обозначение (4), вычислим последовательно г, г, г ,г2, rr: г = 3a2U-3 - 6a2U-4U1 - 18м- V3 + 18м" Vm" - 3m-V";
г = ЗА'2'м-4 - 15A2M-V + 24A2M-V2 - 6A2M-V + 108м-V4-
-144м-W + 18м-6м"2 + 3Om-Vm'" - Зм-V4);
'г' = ЗА'2"м-5 - 27А2'и-6и' + 99А'2м-7и'2 - 21A2M-V + 78А2м-7и'и"-
-144A2M-V3 - 6A2M-V" - 864и-10м'5 + 1440м-9м'3м" - 396м-8и'и"2-
-324m-VV" + +66м-7м"м"' + 45M-Vm^ - Зм-6м";
г2 = 9a2U-4 + ^m-V4 + 9м-6м"2 + 27A2M-V2 - 18A2M-V-
-27м-7м'2м";
rr = 135м-9м'3м" - 8Im-1V5 - ^m-VV" - 54м-8м'м"2+ +9м-7м"м"' - 81А2м-8м'3 + 72А2м-7м'м" + 9А2А'2м-5 - 18A2V V--9A2M-V" + ^A2M-V2 - 9А'2м-6м". Отсюда следует (3). •
5.1. Канонические формы Альфана
Теорема 1. Множество уравнений (1) распадается на четыре класса (табл. 15):
_Таблица 15
170
Глава З
• Для доказательства используются приведенная форма (3) и преобразования из табл. 15. •
Здесь (Yo) означает уравнение (1), a (Yi), (Y2) и самосопряженное уравнение (Y3) имеет вид (см. Husty [325]):
+ l(L42y'" + 15А2у" + 5А4у' + А5у = 0, (Yi)
у<5> + 10А2у"' + 15А2у" + (9A2' + 16А2)у' + А5у = 0, (Y2) у(5> + 10А2у"' + 15А'2у" + (9A2' + 16А2)у' + (2A2" + 16А2А'2)у = 0. (Y3) Основная каноническая форма (Но) может быть представлена в виде
z(5) + Щ-h "z +5(h + 2)z + 5s4z + s5z = 0, {H0)
где
h = r\ 1¦,S4 = (^h2+ ^h-6u-2u'+ I51U-1M і, и=і*' 45 5 • ' U0=I03
S5 = [§ А' + 60u"V2 - 2Ou-V - 1Ou-Vl5 і + I5 2u-5] І і.
А вырожденные канонические формы (H1), (H2) таковы:
z^+ Щд 'z +Ьдї + (Щд2 + Зд)і + (\ д +Щдд-Юи^и' + I5.2u"5)z = 0,
(Яі)
где д = z\ і ,
z(5) + ? +5р + + з/)і + (| у +1^ + l)z = 0ї (Яз)
где/ = г|и=7і/в.
Коэффициенты канонических форм являются абсолютными инвариантами (Альфана) относительно преобразований вида у = \~2(x)z, dt = = Xdx.
5.2. Канонические формы Форсайта
Теорема 2. Множество уравнений (Y) разбивается на четыре класса (табл. 16), где канонические формы Форсайта имеют вид
z(5)-1010(А)и-32+(Щг2 + Зг-301о(А)и-5и+ (-30I0(A)U-5U+5І5Ли~4)і+
5. Инварианты и канонические формы уравнений 5-го порядка 171
1 и" _ 3/У/ч2 _ 1 д
2 и ^u' ~ 2
(5)
Таблица 16
Класс
Инварианты
Преобразование
у = u~2z, dt = udx
Каноническая форма Форсайта
Y0
/о ф0
Основная (Fo) зависит от 3-х параметров
/о = 0,
2
Первая вырожденная (-Fi)
Y1
/5.1 ф 0
їй" 3 I и \ 2 и 4 ^ и J -
зависит от 2-х параметров
/ = /5.1 = 0,
2-я вырожденная (F2)
Y2
/5.2 ф 0
зависит от 1-го параметра
Y3
І0 = І5.1 = І5.2 = 0
3-я (простейшая) вырожденная (Fs) : z^ = 0
5.3. Условия эквивалентности ЛОДУ-5
Рассмотрим теперь задачу об условиях эквивалентности уравнений (1)
и
z(5) + 10-B2 'z +IQBzz + 5B4z + B5z = 0. (5)
В результате придем к следующей теореме.
Теорема 3. Для того чтобы (1) и (5) были эквивалентны, т.е. существовало бы преобразование (2), приводящее (Y) к (5), необходимо и достаточно, чтобы были совместны равносильные между собой система нелинейных уравнений относительно t(x)
{t, x} + \B2t12= 1A2; (6і)
+{Io(A)(60u-7u2 - 2Ou-V) - 1Om-Vj6.! + h.2U^)z = 0, j0(O) ф 0, (F0) z(5)+5I5.iu-4z+(-Wu-6U 15Л+I5.2U-5)z = 0, h.i фи, (F1)
Z(5) + h.2U-5Z = 0, /5.2 ф 0, (F2)
причем в коэффициенты уравнений (Fq), (-Fi), (F2) следует подставить обращение интеграла t = J u(s)ds.
• Воспользуемся приведенной формой (3), приняв во внимание, что выражение для г (4) обращается в нуль, когда и(х) удовлетворяет уравнению КШ-2, указанному в табл. 16, а именно
172 глава з
у-677? + 6(7)3 + 2А27 + ІБзі'3 = ІАз; (б2)
tv иЛгЧ" 70 ,t"\i , 160 t"2t"' AfUt'\4 40 . Л"Л2 , 50 a f" , + f А3^ + §В4і'4 = §А4; (б3)
-/-от -/-"-,и j.r/2fiv prniv 4-ІППІ2 fiiZfin +r/5
-Т - 15T1TvT + 120^4 - ЗО^г- + 180Ц^- - 600г-^— + 360^- + t' (t'f і'3 і'2 і'3 і'4 і'5
