Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Беркович Л.М. -> "Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений" -> 48

Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.

Беркович Л. М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений — Москва: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 464 c.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка): faktorizachiya-i-preobarazovaniya-differencial.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 130 >> Следующая


I0(A), как и ранее, будем называть инвариантом Лагерра, а выражение

j4.! (A)= A4 -2А'3 + § a2'- § А2 (28)

— псевдоинвариантом Альфана.

Если I0 = 0, то из (28) получим условный инвариант

h.i(A) = j4.i |/0=о = A4 — |а2 — |i А\.

Предложение 6. Для инвариантов оператора

L = D4 + QA2D2 + AA3D + A4,

4. условия эквивалентности и канонические формы... 165

z{iv) +2rz + {2r + AI0{A)u-z)z + {\r+^r2-610{А)и-^и' + 14Ли~4)г = 0,

(29)

где

г = ЗА2и-2 + ^u12U-4 - \и"и-ъ. (30)

• Преобразуя (Iі), получим уравнение

z^ + {6A2U-2 + Щи12и~4 - 5u"u-3)z + (-5м-4м"' + 30м" Vm"-

-3Om-V3 - 12A2m-V + 4А3м-3)і

9^M-V4_ 315 -7u,2u„_ 16 4

+ ^m-V'2 + 15м-6м'м"' - ^m-V-) + A2A-V2 - 9м-5м")-4 2 у 2 '

-6A3u-V + A4m-4] z = 0. (31)

Введя обозначение (30) и вычислив гиг по формулам

г = ЗА'2м-3 - бА2м-4и' + 15м'м"м-5 - 15м-6м'3 - |м-4м"',

г = ЗА^'мГ4 - 15A'2u-5u' + 24A2m-V2--6A2m-V + 15м"2м"6-

-120м-7(м')2м" + 25M-Vu'" + 90м-8(м')4 - |м-5мто,

придем из (31) к (29). •

Будем называть (29) приведенной формой уравнения (Iі).

формально сопряженного оператора

L* = D4 + 6A2D2 + 4(3A2 - A3)D + A4- 4A3 + 6A2'

и самосопряженного оператора

L** = D4 + 6A2D2 + 6A2D + A4

справедливы соотношения:

I0 = -I0*, I0 = I0** = 0.

Предложение 7. Уравнение (Iі) преобразованием (3) приводится к форме

166

Глава З

Таблица 13

Класс
Инварианты
Преобразование
у = u^s^2z, dt = Ukdx
Каноническая форма Альфана




Основная (Но),

(Y0)
Io ф О
Uo = \/%
зависит от двух параметров

(Yi)
Io =0, h.i = h.i\і0=о ф О
4/7
ui = У h.i
Первая вырожденная (TJi) зависит от одного параметра



/ \ 2
Вторая (простейшая)

(Y2)
Io = h.i = О
1 из 3 / U2 \ з .
2 U2 4 I U2 j 5 2
вырожденная , (H2) :
z{iv) = 0

4.4. Канонические формы Альфана

Теорема 4 (классификационная, для сравнения см. Halphen [320]).

Множество уравнений вида (Iі) распадается на три класса (табл. 13), где класс (Yq) имеет вид (Iі) при условии Iq ф 0, класс (Yi) дается уравнением

у{тЧ + 6A2y" + QA2y' + Aiy = 0, I0 = 0, (Yi)

а класс (Y2) имеет вид (4). Соответствующие канонические формы таковы:

z{m) + 2hz + (2h + A)z + kz = 0,

где

где

h

г\ і, Iq = 0, к = f/i + |U2 - Qu-2U1 + I4.1M"4; и=703 5 25

z^ + 2hiz + 2h\z + (1 + + ^-hi)z = 0,

= Au= viz-* Io = °' Jil ^°-

При этом h(t) = h(x)

-2/3

^)43a2 + ||-|f)/o ,

(#o)

(Hi)

(x = x(t) — обращение интеграла t = J tylodx), a hi(t) = hi(x), (x = x(t)

X

— обращение интеграла t = J \fl4.idx):

5. Инварианты и канонические формы уравнений 5-го порядка 167

Таблица 14

Класс
Инварианты
Преобразование
3
у = и 2 z, dt = udx
Каноническая форма Форсайта

Y0
Io ф0
и удовлетворяет уравнению (11)
Основная (F0) зависит от 2-х параметров

Y1
I0=O, h.i ф о
Первая вырожденная (F1), зависит от одного параметра

Y2
I0 = /4.1 = 0
Вторая (простейшая) вырожденная (F2) : z(iv) = о

5. Инварианты и канонические формы линейных уравнений 5-го порядка

Пусть дано уравнение вида

у^ + 10A22/'" + 10A32/" + 5A42/' + А5у = 0,Ak= Ак(х), (1)

• Используется предложение 7 о приведенной форме. •

Заметим, что Альфан в качестве инварианта рассматривал не I0, a — 2Iq, потому основная каноническая форма у него имела вид

z{lv) + 2hz + 2(h - l)z + kz = 0.

4.5. Канонические формы Форсайта

Теорема 5 (классификационная). Множество уравнений (Iі) распадается на три класса (табл. 14), где канонические формы Форсайта имеют соответственно следующий вид:

z[lv) +4/o3z + foiz = О, /оз = I0(A)u-3, /о4 = -6Iqu-5u'+ h.lU-4, (F0)

z[m] +fuz = 0,/14 = и~%Л, (F1)

= 0. (F2)

• Используется предложение 7 о приведенной форме, а также тот факт, что ядро и(х) преобразования KJI удовлетворяет уравнению КШ-2 (11). •

Сравнивая канонические формы Альфана и Форсайта, видим, что они совпадают в простейшем вырожденном случае, тогда как основные и первые вырожденные формы соответственно не совпадают. Но, самое главное, для нахождения (До) и (H1) не требуется уравнение (11), а преобразование KJI строится в основном дифференциальном поле коэффициентов уравнения (Iі), т. е. в дифференциальном поле полуинвариантов Ак уравнения (1).

168

Глава З

представленное в т. н. полуканонической форме, т. е. полученное из полного уравнения

у(5) + Ьа1У{4) + 10а2у"' + 1Oa3J/" + 5а4у' + а5у = 0, ак = ак(х), (Iі)

подстановкой у = ехр(— Ja\(x)dx)Y, где затем Y заменено на у. Коэффициенты уравнения (1) являются полуинвариантами (абсолютными) относительно преобразования зависимой переменной у = \(x)z. Предложение 1. Уравнение (1) подстановкой

у = u~2z, dt = udx (2)

преобразуется к приведенной форме

z(6) + Щг -z- +5(r + 2Io(A)u-3)z + {Щг2 + Зг - 3070(А)м-5мЧ

о У

+bh.lU-A)z + (§ г +Щгг + J0(6Om-V2 - 20м"V) - 10м-6и%.1 +

о У

+u-5I5.2)z = 0, (3)

где

г = ЗА2и-2 + ^u-4u'2 - Зм-Зм", (4)

Iq — относительный инвариант Лагерра, а
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 130 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed