Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
I0(A), как и ранее, будем называть инвариантом Лагерра, а выражение
j4.! (A)= A4 -2А'3 + § a2'- § А2 (28)
— псевдоинвариантом Альфана.
Если I0 = 0, то из (28) получим условный инвариант
h.i(A) = j4.i |/0=о = A4 — |а2 — |i А\.
Предложение 6. Для инвариантов оператора
L = D4 + QA2D2 + AA3D + A4,
4. условия эквивалентности и канонические формы... 165
z{iv) +2rz + {2r + AI0{A)u-z)z + {\r+^r2-610{А)и-^и' + 14Ли~4)г = 0,
(29)
где
г = ЗА2и-2 + ^u12U-4 - \и"и-ъ. (30)
• Преобразуя (Iі), получим уравнение
z^ + {6A2U-2 + Щи12и~4 - 5u"u-3)z + (-5м-4м"' + 30м" Vm"-
-3Om-V3 - 12A2m-V + 4А3м-3)і
9^M-V4_ 315 -7u,2u„_ 16 4
+ ^m-V'2 + 15м-6м'м"' - ^m-V-) + A2A-V2 - 9м-5м")-4 2 у 2 '
-6A3u-V + A4m-4] z = 0. (31)
Введя обозначение (30) и вычислив гиг по формулам
г = ЗА'2м-3 - бА2м-4и' + 15м'м"м-5 - 15м-6м'3 - |м-4м"',
г = ЗА^'мГ4 - 15A'2u-5u' + 24A2m-V2--6A2m-V + 15м"2м"6-
-120м-7(м')2м" + 25M-Vu'" + 90м-8(м')4 - |м-5мто,
придем из (31) к (29). •
Будем называть (29) приведенной формой уравнения (Iі).
формально сопряженного оператора
L* = D4 + 6A2D2 + 4(3A2 - A3)D + A4- 4A3 + 6A2'
и самосопряженного оператора
L** = D4 + 6A2D2 + 6A2D + A4
справедливы соотношения:
I0 = -I0*, I0 = I0** = 0.
Предложение 7. Уравнение (Iі) преобразованием (3) приводится к форме
166
Глава З
Таблица 13
Класс
Инварианты
Преобразование
у = u^s^2z, dt = Ukdx
Каноническая форма Альфана
Основная (Но),
(Y0)
Io ф О
Uo = \/%
зависит от двух параметров
(Yi)
Io =0, h.i = h.i\і0=о ф О
4/7
ui = У h.i
Первая вырожденная (TJi) зависит от одного параметра
/ \ 2
Вторая (простейшая)
(Y2)
Io = h.i = О
1 из 3 / U2 \ з .
2 U2 4 I U2 j 5 2
вырожденная , (H2) :
z{iv) = 0
4.4. Канонические формы Альфана
Теорема 4 (классификационная, для сравнения см. Halphen [320]).
Множество уравнений вида (Iі) распадается на три класса (табл. 13), где класс (Yq) имеет вид (Iі) при условии Iq ф 0, класс (Yi) дается уравнением
у{тЧ + 6A2y" + QA2y' + Aiy = 0, I0 = 0, (Yi)
а класс (Y2) имеет вид (4). Соответствующие канонические формы таковы:
z{m) + 2hz + (2h + A)z + kz = 0,
где
где
h
г\ і, Iq = 0, к = f/i + |U2 - Qu-2U1 + I4.1M"4; и=703 5 25
z^ + 2hiz + 2h\z + (1 + + ^-hi)z = 0,
= Au= viz-* Io = °' Jil ^°-
При этом h(t) = h(x)
-2/3
^)43a2 + ||-|f)/o ,
(#o)
(Hi)
(x = x(t) — обращение интеграла t = J tylodx), a hi(t) = hi(x), (x = x(t)
X
— обращение интеграла t = J \fl4.idx):
5. Инварианты и канонические формы уравнений 5-го порядка 167
Таблица 14
Класс
Инварианты
Преобразование
3
у = и 2 z, dt = udx
Каноническая форма Форсайта
Y0
Io ф0
и удовлетворяет уравнению (11)
Основная (F0) зависит от 2-х параметров
Y1
I0=O, h.i ф о
Первая вырожденная (F1), зависит от одного параметра
Y2
I0 = /4.1 = 0
Вторая (простейшая) вырожденная (F2) : z(iv) = о
5. Инварианты и канонические формы линейных уравнений 5-го порядка
Пусть дано уравнение вида
у^ + 10A22/'" + 10A32/" + 5A42/' + А5у = 0,Ak= Ак(х), (1)
• Используется предложение 7 о приведенной форме. •
Заметим, что Альфан в качестве инварианта рассматривал не I0, a — 2Iq, потому основная каноническая форма у него имела вид
z{lv) + 2hz + 2(h - l)z + kz = 0.
4.5. Канонические формы Форсайта
Теорема 5 (классификационная). Множество уравнений (Iі) распадается на три класса (табл. 14), где канонические формы Форсайта имеют соответственно следующий вид:
z[lv) +4/o3z + foiz = О, /оз = I0(A)u-3, /о4 = -6Iqu-5u'+ h.lU-4, (F0)
z[m] +fuz = 0,/14 = и~%Л, (F1)
= 0. (F2)
• Используется предложение 7 о приведенной форме, а также тот факт, что ядро и(х) преобразования KJI удовлетворяет уравнению КШ-2 (11). •
Сравнивая канонические формы Альфана и Форсайта, видим, что они совпадают в простейшем вырожденном случае, тогда как основные и первые вырожденные формы соответственно не совпадают. Но, самое главное, для нахождения (До) и (H1) не требуется уравнение (11), а преобразование KJI строится в основном дифференциальном поле коэффициентов уравнения (Iі), т. е. в дифференциальном поле полуинвариантов Ак уравнения (1).
168
Глава З
представленное в т. н. полуканонической форме, т. е. полученное из полного уравнения
у(5) + Ьа1У{4) + 10а2у"' + 1Oa3J/" + 5а4у' + а5у = 0, ак = ак(х), (Iі)
подстановкой у = ехр(— Ja\(x)dx)Y, где затем Y заменено на у. Коэффициенты уравнения (1) являются полуинвариантами (абсолютными) относительно преобразования зависимой переменной у = \(x)z. Предложение 1. Уравнение (1) подстановкой
у = u~2z, dt = udx (2)
преобразуется к приведенной форме
z(6) + Щг -z- +5(r + 2Io(A)u-3)z + {Щг2 + Зг - 3070(А)м-5мЧ
о У
+bh.lU-A)z + (§ г +Щгг + J0(6Om-V2 - 20м"V) - 10м-6и%.1 +
о У
+u-5I5.2)z = 0, (3)
где
г = ЗА2и-2 + ^u-4u'2 - Зм-Зм", (4)
Iq — относительный инвариант Лагерра, а