Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
a" + 2аа + |a3 + ^A2a + %An = 0, (7)
9 5 5 J w
a'''+4aa''+3a2+6a2a'+a4+6A2(a'+a2)+6A'2a+|A'2' + || =0, (8)
4. условия эквивалентности и канонические формы.
161
и преобразованием KJI вида
у = ехр(^ J adx)z, dt = exp(—| J adx)dx, (9)
y = exp(j adx)z, dt = ещ>(— jj j adx)dx, (10)
приводятся к простейшим дифференциальнымм уравнениям z^ = Ом z = 0.
• Применим к уравнению (4) подстановку у = exp(J adx). Получим нелинейное уравнение (8). Но (8) допускает факторизацию
(D2 + ^aD + За2 + \а' + ^ A2) (a' + \о? + ^A2) = 0, o o 5 o 5
или
(D + 2a){D + |а)(а' + |а2 + JU2) = 0,
откуда либо приходим к уравнению 2-го порядка (7), допускающему факторизацию (D + А/За)(а' + 1/За2 + 9/5A2) = 0, либо приходим к уравнению (6). Оператор уравнения (4) может быть приведен к четырехкратной итерации оператора 1-го порядка:
ехр(| Jadx)L = [ехр(| J adx)(D — а)}4,
откуда следует преобразование (10). Что касается преобразования (9), то оно получается из факторизации оператора L2 уравнения (5): L2 = (D +
+ T^a)(D — ^a), которая в свою очередь может быть приведена к двухкратной итерации оператора 1-го порядка:
ехр(^ J adx)L2 = [ехр(| J adx)(D — ^a)]2.»
Замечание 1. Преобразования (9), (10) можно также представить в виде (см. формулу (3))
1
у = \и\ 2z, dt = udx, (9і)
з
у = \u\2z, dt = udx, (10і)
где ядро и(х) преобразования КЛ удовлетворяет уравнению КШ-2:
162 Глава З
С помощью множителя v(x) преобразования KJI (9і), (101) можно представить в виде
у = vz, dt = v~2dx, (92)
у = v3z, dt = v~2dx, (102)
где v(x) удовлетворяет уравнению (5).
4.3. Факторизация операторов 4-го порядка и условия эквивалентности
Воспользуемся методом факторизации.
Предложение 2. Для эквивалентности (1) и (2) при преобразовании (1.4) неообходимо и достаточно:
і
Ly=Y[[D-^-(k-l)^-?k(t(x))u}y = 0. (IIі)
к=4
• Доказывается так же, как и предложение 2.2. •
Предложение 3. (Дифференциальный аналог формул Виета). Между
і
«корнями» ак факторизации L = Yi {D — ак) существуют следующие
к=4
соотношения:
Aa1 = -(a-i + СХ2 + а3 + 0-4), (12)
Qa2 = CX1Cx2 + CX1CX3 + G1G1 + G2G4 + СХ3СХ4 + CX2CX3 — Ъа'х — IcJ2 — о/3, (13) Aa3 = —Ot1Ot2Ot3 — Ot1Ot2CXi1 — Ot1Ot3OtI1 — Ot2Ot3Ot1 + 2аіа2 + 2а2а'г + 2а3а'г + +Ia1Ot1 + U1Gt3 + а2а'3 + +а3а'2 + U1Gt2 — За" — Gt2, (14)
U1 = G1U2G3U4 — U1U4U2 — и2и4и\ — и3и4и\ — а2а3а\ — G1U3G2 — G1G2Gt3+ +2а'га2 + а'га'3 + +G1G2 + а2а'[ + а3а'[ + а4а'[ — а'{'. (15)
• Доказывается прямым подсчетом. •
Если G1, а2, G3 = const, то формулы (12)-(15) совпадают с алгебраическими формулами Виета.
Предложение 4. Для того чтобы уравнения (1) и (2) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы была совместна переопределенная система дифференциальных уравнений относительно и(х) и v(x):
«і = -?-§? + Шч {h{u,v,u',v') =0), (16)
fk{u, v, и', v', и", v",4k\v^) = 0, k = 2~A.
4. условия эквивалентности и канонические формы.
163
• Конкретный вид /? получается при подстановке в формулы (12)-(15) выражений для
ак = ^ + {к-1)^+ ?k(t)u (см. формулу (II1)).«
Предложение 5. Множитель v(x) и ядро и(х) преобразования KJI для уравнений (1) и (2) связаны между собой конечными формулами
V = \и\ 2 ехр(— / ai<ir)exp( / b\dt),
-- 2 f 2 f
и = \v\ 3 ехр(—- / ai<ir)exp(- j b±dt).
• Доказывается путем интегрирования уравнения (16). • Теорема 1. Для того чтобы уравнения (1) и (2) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы были совместны следующие две равносильные системы уравнений относительно t(x) :
{t,x} + ^B2(t)t'2 = I А2(а;), (17)
5 tlv 15 t"t"' 15 A"\3 , ,, (" , D .,з
4f 2 • 2 yt>; ¦3^ + *3' =Аз' (18)
It-I _ - 15 /V"V 315 t"2*'" _ 945 /V4 4
2/ і'2 4 і' У + 4 і'З I6 f
-A2 (f (f )2 - 9 (^)) + 6A3^ + B^ = A4; (19)
и относительно v(x):
""-1^ + P2" = P2''+ (20)
^-^+!? + й^+!*,=|а,-.. (2D
_ 5
г>™ + 6A2v" + 4A3«' + A4« - S4W 3 = 0. (22) • Вытекает из предложений 4 и 5. •
164
Глава З
Теорема 2. Для того чтобы уравнения (1) и (2) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы была совместна система нелинейных уравнений:
T'-±T2 + ^B2(t)t'2 = ^А2, (23)
Т" - 3TT' + T3 + ^A2T + JB3t'3 = JA3, (24)
5 5 5
T'''-6TT''-^T'2+^T2T'-^T4+A2(-9T2+6T')+4A3T+|?4i' ^=% A4.
2 2 8 о о
(25)
• Для перехода от системы (17)-(19) к системе (23)-(25) достаточно применить подстановку T = t"/t'. •
Заметим, что уравнение (23) является просто уравнением Риккати, а уравнение (24) — уравнением Риккати 1-го рода и 2-го порядка (см. Беркович [50], с. 57), а также уравнением типа Пенлеве (см. Айне [4], Голубев [109]).
Теорема 3. Для того чтобы уравнения (1) и (2) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения
I0(A)=U3I0(B), (26)
j4.i(a) = u4J4A(B), (27)
где и(х) = t' удовлетворяет уравнению (17).
• Соотношение (26) легко вытекает из уравнений (23), (24) или уравнений (20), (21) как условие их совместности. Более громоздким путем получается соотношение (27) как условие совместности системы (23)-(25) или системы (20)-(22). •
