Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
L = D3 + 3A2D + A3- В3и3, (43)
154
Глава З
а нелинейному уравнению (41) — соответствующий линейный оператор
M = d2 -\{^)d + \а2 -\в2и2. (44)
Теорема 3. Следующие условия равносильны:
а) уравнение (5) и (6) эквивалентны;
б)
ГШОД(?,М) = (45)
в) правый остаток Qi в алгоритме Евклида, примененный к L и М, равен нулю:
Q1=A3- \A2 - (b3 - р2)и3 = 0. (46)
• Необходимость. Т. к. система (41), (42) совместна, то оператор d-является правым делителем операторов L и М. В процессе деления будем
иметь: L = (d + \^)м + s1 s = pd+ Q1 где
р_Зл , 3 о 2 і 1 v" l(V'\2
2 2 2 2 2~^~ " '
Q = A3 - в3и3 -\а2% + \в2и% - (\а2 - Ib2U2)'.
Уравнение (41) и преобразование (7) дают ограничения на коэффициенты p и Q оператора s, а именно: p = p1 = ^A2 + ^B2U2, Q = -p1^ + Q1,
где Qi = A3 - |^2 - (b3 - ^b2)U3. Таким образом, s = p1(d - ^) + + Q1. Применяя алгоритм Евклида для операторов L и M1 найдем, что
ПНОД(?, M) = d — . Но это возможно, если только Qi = 0, то есть когда условие (41) выполнено.
Заметим также, что M допускает факторизацию M = (d + -^)(d — — 2 fr)' так как соответствующий остаток R равен нулю в силу (43):
R=Vi-l(if + lA2-lB2u2=0.
Достаточность. Из условия (46) следует (45). Тогда система (41), (42) совместна. Но это и означает эквивалентность (5) и (6). •
Теорема 2 (выражение для Iq) вытекает теперь как следствие из теоремы 3.
2. Задачи Альфана для линейных уравнений 3-го порядка 155
2.7. Применение дифференциального результанта к нахождению Iq
Понятие дифференциального результанта (см. п. 1.6.2) распространяется и на переопределенные системы АДУ, если установить соответствие согласно замечанию 3 между АДУ (39) и ЛОДО (40). Для упрощения выкладок положим в уравнении (6) B2 = 0, в результате чего оно примет вид
г' +B3Z = O. (47)
Условие эквивалентности уравнений (5) и (47) будем искать как условие совместности системы уравнений
v"-\^- + \A2v = Q (48)
и (42). Введем операторы L и M согласно (43) и (44) соответственно. При этом оператор M примет вид
M = D2- \%D +\a2. (49)
Предложение 10. Для того чтобы уравнения (5) и (47) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы ПРез(?, М), т. е.
1 0 3A2 3A2+ a3-в3и3 a3-в3и4+ 3B3U3^
0 10 3A2 a3- в3и3
-, Vі 1 (Vі\2 і 3 Д 9 ЛІ l(v'\3 3,1 I)' Ъ АН
1_2^2(^ +2^27^2-4-(-) -AAS 2А2
° 1 -І 1(й2 + !^2 \А>2
осі -fv Ia2
(50)
был равен нулю.
• В связи с распространением понятия дифференциального результанта на нелинейную систему условием совместности системы (5),(47) будет ПРез(?, M) = 0. Для построения элементов определителя (50) будем, как это делалось ранее (см. п. 1.6.2), «умножать» оператор (43) слева на D и 1 последовательно, а оператор (49) — на D27 Dil, учитывая при этом (48) и (42)..
156
Глава З
Предложение 11. Для того чтобы (5) и (47) были эквивалентны при преобразовании (7), необходимо и достаточно:
A3 - §4, = В3и3. (51)
• Формула (51) тотчас получается при раскрытии определителя (50). • Итак, еще одним способом получено выражение для Iq .
3. Канонические формы Альфана и Форсайта для уравнений 3-го порядка
3.1. Приведенная форма и Iq
Предложение 1. Уравнение (2.5) преобразованием (2.7) приводится к
виду
-z +3B2Z + (|й2 + I0(A)u-3)z = 0, (1)
где 3B2 = -2иГ3и" + Зи^и'2 + ЗА2иГ2.
• Доказывается простым счетом. •
Уравнение (1) будем называть приведенной формой для (2.5). Из формы (1) тотчас вытекает, что выражение /о(^4) является относительным инвариантом уравнения (2.5) при преобразованиях типа (2.7).
3.2. Канонические формы Альфана
Теорема 1 (классификационная). Множество уравнений вида (2.5) распадается на два класса (табл. 10):
_Таблица 10
Класс
Инварианты
Преобразование
у = UJI1Z, dt = Ukdx
Каноническая форма Альфана
Y0
Io ф0
U0 = Vh
Основная (Но), зависит от одного параметра
Y1
I0=O
Ui удовлетворяет (2.14)
Вырожденная (Hi) : z = 0
Здесь Yq обозначает уравнение (2.5), a Yi — самосопряженное уравнение (2.8), а формы (Hq) и (Hi) имеют вид соответственно
"z +3H2(t)i + (|iJ2(*) + I)Z = O
3. Канонические формы Альфана и Форсайта 157
и z = 0, причем H2(t) = Н(х), (х = x(t) — обращение интеграла t = і
= fl3(A)dx),
2 _8
Н[х) = A2I03 + (7I02 - 6I0IZ)/2710 3. (2)
• Доказывается прямым счетом. •
Коэффициенты [Но), а также линейные функции от них являются (и называются) абсолютными инвариантами (Альфана). Теорема 1 эффекти-визирует соответствующий результат Альфана (Halphen [319]). Дифференциально-геометрический подход был применен в работе (Нейман Ф. [189]).
3.3. Канонические формы Форсайта
Теорема 2. (Forsyth [310]). Множество уравнений вида (2.5) распадается на два класса согласно табл. 11:
_Таблица 11
Класс
Инварианты
Преобразование
у = U^1Z, dt = udx
Каноническая форма Форсайта
Y0
I0JO
и удовлетворяет (2.14)
Основная (F0), зависит от одного параметра
