Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
• Представим (19) в виде соотношения
v' = (-^-a1 + b1(t)u)v. (28)
Последовательно дифференцируя (19), найдем
v" =[-^ + 2(^)2-blU' + (b2 + bx)u2 + 2ai% -2biaiu + a2 -a>, (29) v"' = [-У?- + -6(|)3 - 2blU +(b1 + 3bA + b3)u3 + 3(ai -a2)^ +
+3ai^ - 6ai(^)2 - (3ai&i + Заф^и2 + (3bia\ - ЗЬха'г)и + ЗЪ^и'+ 3b1(^T)2 + (3a1a[-all-al)}v. (30)
2. Задачи Альфана для линейных уравнений 3-го порядка 151 Подставив (28) и (29) в (20), получим уравнение
2IT -3(^)2 + ЗВ2(ф2 = ЗА2, (31)
соответствующее (25). Подставив выражения (30), (29) и (28) в (21), получим уравнение
1Г - 6^f + 6(f)3 + 3^f + и*0>з - Ь\ - 3O1 - I1)+
+36i[~ - )2 + К + а2 - а2)]и = а3 + 2а? - Заіаз - а'/,
которое в силу (31) примет вид (26) (учитывая, что и = t'). Для вывода соотношения (27) представим (19) в виде
и' = -(oi + f )w + 6i(i)w2. (32)
Продифференцировав (32) по ж, получим выражение
и" = (а2 - аі + 2{%У - ^ + 2аі%)и + (Sb1Q1 - Zb1^)U2 + (2Ъ\ + Ъ^и3.
(33)
Подставив (33) и (32) в (31), придем к (27). •
В последующих пунктах настоящего параграфа дается решение задачи об эквивалентности уравнений (1) и (2) в виде эффективного ограничения на коэффициенты данных уравнений. Необходимое и достаточное условие эквивалентности представляет так называемый относительный инвариант Лагерра Io (Laguerre [340]). Приведем несколько различных способов получения упомянутого инварианта, каждый из которых представляет самостоятельный интерес.
2.4. Способ Бриоски построения инварианта Лагерра
Предложение 6. (Brioshi [282]). Для того чтобы (1) было эквивалентно (2), необходимо и достаточно, чтобы была совместна следующая система уравнений:
\Т'-\Т2 + \B2(t)t'2 = |а2) (34)
Т" - ЪТТ' + T3 + ZA2T + B3(t)t'3 = A3. (35)
152
Глава З
• Система (34),(35) выводится из системы (25),(26) подстановкой T =
= t-..
t'
Замечание 2. Т.к. t = t(x), то (34) является уравнением Риккати, а (35) — уравнением Риккати 1-го рода второго порядка (см. Беркович [50], с. 57). Уравнение (35) может быть отнесено также к классу уравнений вида Т" = f(T,T',x), где / — рациональная функция от Т, T', аналитическая функция от х, и имеющему неподвижные критические точки, т. е. к классу уравнений Пенлеве.
Теорема 2 (Laguerre [340]). Для того чтобы (1) и (2) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
I0(a) =u3I0(b), (t = ju(x)dx), (36)
(я) = аз — За\а2 + 2а\ + За\а'г — ^a2 + ^аі- (37)
• Продифференцировав (34) по і и вычтя получившееся уравнение из (35), приходим в силу (34) к выражению Iq(A) = U3Iq(B), где и(х) удовлетворяет уравнению (25), а
I0(A) = A3-^A2, I0(B)= B3-\в2. (38)
Отсюда придем к соотношениям (36), (37) (см. таблицу 9). •
2.5. Модифицированный способ Альфана построения Iq
Пусть оператор L имеет полуканоническую форму L = D3 + 3A2D + + A3. Тогда формально антисопряженный оператор — — L* = D3 + + 3A2D + 3A2 — A3. Обозначив через ^о(-) относительный инвариант JIa-герра антисопряженного оператора легко убедиться в справедливости следующего предложения.
Предложение 7. I0 = —10(_у
Предложение 8. Если L — антисамосопряженный оператор вида L = = D3 + 3A2D + \А'2, то I0 = 0.
Предложение 9. Если оператор L = D3 + 3A2D + A3 представить формально в виде суммы L = С + I0, где С — антисамосопряженный оператор, a I0 удовлетворяет соотношению (38), то слагаемое I0 является относительным инвариантом.
• Действительно, при всех преобразованиях вида (7) Iq(A) остается относительным инвариантом. •
2. Задачи Альфана для линейных уравнений 3-го порядка
153
2.6. Дифференциальный алгоритм Евклида и его применение к нахождению Iq
В дальнейшем понадобится следующее практически забытое обобщение понятия неразложимости ЛОДУ, восходящее к Кёнигсбергеру (Koenigs-berger [332]).
Определение 2 Уравнение Ly = 0 является неразложимым в Fo, если
оно
а) либо неразложимо согласно определению 1.3.1,
б) либо не имеет общего решения ни с каким нелинейным алгебраическим дифференциальным уравнением (АДУ) порядка < п с коэффициентами из Fo.
В противном случае уравнение Ly = 0 называется разложимым в Fo в обобщенном смысле.
Замечание 3. Основная причина, что обобщенное понятие неразложимости не находило применения, заключалось, по-видимому, в том, что теория делимости дифференциальных операторов не была распространена на АДУ.
Для этого следует АДУ
п
Ny = Y, ак(х, у,у',..., yW)y(n-V = 0 (39)
к=0
поставить в соответствие линейный оператор
п
L = Yak(x,y,y',...,y^)Dn-k (40)
к=0
и развить теорию, аналогичную построенной для ЛОДУ.
Найдем Io, комбинируя дифференциальный алгоритм Евклида с дифференциальной теоремой Безу (прилагательное «правый» для краткости опускаем). При этом Iq будем искать как условие совместности переопределенной системы (27), (21). С целью упрощения технических деталей, но, не теряя при этом в общности, рассмотрим систему
v" - \ iT + \A*V - p2(t)u2v = 0, (41)
v"' + ЪА2у' + A3v - B3(t)u3v = 0, (42)
условие совместности которой есть в то же время условие эквивалентности уравнений (5) (6) при преобразованиях (7). Соотнесем линейному уравнению (42) линейный оператор
