Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
2.2. Самосопряженное (итерированное) уравнение 3-го порядка
Оно имеет вид
у"' + ЗА2у'+^А'2у = 0 (8)
с общим решением
у = C1Y12 + C2Y1Y2 + C3Y22,
где C1, с2, C3 — произвольные постоянные, a Y1, Y2 образуют базис ассоциированного с (8) уравнения
Y" + ^A2Y = 0. (9)
Предложение 1. Уравнения (8) и (9) допускают соответственно факторизации
L3y = (D + O)D(D - а)у = 0, L2Y = (D + \a)(D - \а)у = 0, где а удовлетворяет как уравнению Риккати (классическому)
a' + |а2 + I= 0, (10)
так и уравнению Риккати 2-го порядка 1-го рода (см. Беркович [50], с. 57) а" + Заа' + a3 + ЗА2а + ^A2 = 0, (11)
и соответственно преобразованиями KJI вида
у = ещ>(j adx)z, dt = ехр(— j adx)dx, (12)
у = ехр( j -^adx)z, dt = ехр(— j adx)dx, (13)
приводятся к простейшим дифференциальным уравнениям z =0, z = 0.
148
Глава З
• Антисамосопряженный оператор L3 всегда можно представить в форме L3V = (D+a)D(D—a), где а удовлетворяет уравнению (11). Но (11), как
легко проверить, можно записать в виде факторизации (D + 2а)(а' + |а2 +
о
+ |^2) = 0, откуда функция а(х) должна удовлетворять уравнению (10).
V
Взяв затем подстановку а = 2 у, придем к (9). Воспользуемся теперь двумя ранее изложенными результатами (см. примеры 1.4.4 и 1.4.5):
ехр(3 j adx)L3 = [ехр( j adx)(D — а)]3,
ехр(2 j CXdX)L2 = [ехр( j adx)(D — ^a)]2.
Согласно главе 2 операторы ехр(3 J adx)L3 и ехр(2 J adx)L2 являются приводимыми (представляют собою итерации соответствующих операторов 1-го порядка). Преобразование (12) получается из условий м-1 = = exp(j*adx), v'(uv)~l = aexp(Jadx). Аналогично получается и преобразование (13). •
Замечание 1. Преобразование (12) можно также представить либо в виде D = U-1Z, dt = udx, где и удовлетворяет уравнению КШ-2
1 и" 3/м'ч2 _ 3 л (ллЛ
либо в виде у = V2Z, dt = v~2dx, где v удовлетворяет уравнению
v" + \a2v = 0.
2.3. Факторизация операторов 3-го порядка и условия эквивалентности
Для нахождения условий эквивалентности уравнений (1) и (2) воспользуемся методом факторизации.
Предложение 2. Для эквивалентности (1) и (2) при преобразовании (1.4) необходимо и достаточно, чтобы
і
Ly = П \Р - ? - (fc - - /Ш*))«]г/ = 0. (15)
fe=3
• Необходимость. Пусть (1) переводится в (2) преобразованием (1.4). Уравнение (2), согласно теореме Мамманы (см. теорему 1.8.1) допускает
2. Задачи Альфана для линейных уравнений 3-го порядка 149 і
факторизацию Mz = П (Dk — ?k)z = 0. Применив обратное к (1.4) пре-
к=3
образование z = v~ly, dx = u~ldt, придем к (15).
Достаточность. Пусть имеет место факторизация (15). Применив преобразование (1.4), придем к факторизации уравнения (2). •
Предложение 3. (Дифференциальный аналог формул Виета). Между
і
«корнями» ctk факторизации L= Yl (D — ctk) существуют соотношения:
fe=3
Заі = — (cui + Ct2 + «з), (16)
3(22 = Ct\Ct2 + Ct1Ct3 + «2Ct3 — 2CZ1 — a2, (17)
аз = — CtIa2OL3 + Ot1Ot2 + Ol2Ol1 + Ol3Ol1 — a". (18)
• Доказывается прямым счетом.* (См. также лемму 1.8.1).
Если «і, а2 = const, то формулы (16)-(18) совпадают с алгебраическими формулами Виета.
Предложение 4. Для того чтобы уравнения (1) и (2) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы была совместна переопределенная система дифференциальных уравнений относительно v и и :
-3^-3^ + 36iu = 3ai, (19)
-3^ - 6ai^ - ^ + 3(^)2 - ЗЪщ' + ЗЪ2и2 = За2, (20)
Vі" + 3ai«" + 3a2v' + a3v - b3(t)u3v = 0. (21)
• Введем обозначения
cti = \ + ?iu, Ct2 = Ц- + \ + ?2u, «3 = ^- + 2^+ ?3u. Тогда формулы (16)-(18) примут соответственно вид (19), а также
-3^ + 6(|)2 + 6^-^+3(^)2-6И1^-361МЧЗб2«2 = За2, (22)
у"' і с v'v" _ c(V!_\3 _ рУ^(У^\2 _ п^_(У_\2 , У1 и' , 0u'v" , у + 0 у2 ^v' 0U^y) ¦'Ни' + Ш +o Mi) +
+6M(^)2 + 3hu'^ - 3M^ - ЗЪ2и2^ + O3M3 = аз- (23)
В силу (19) уравнение (22) примет вид (20), а в силу (19) и (22) уравнение (23) примет форму (21). •
150 ГЛАВА З
Предложение 5. Множитель v(x) и ядро и(х) преобразования типа KJI {IA) связаны между собой конечными формулами
V= м|_1ехр(— j aidx)exp( j bidt), и = и~гехр(— j aidx)exp( j b\di).
(24)
• Доказывается путем интегрирования уравнения (19).«
Определение 1. Преобразование (1.4) типа KJI будем называть преобразованием KJI для п = 3, если ядро и множитель его связаны соотношениями (24).
Отсюда следуют преобразования зависимой (3) и независимой (4) переменных.
Теорема 1. Для того чтобы уравнения (1) и (2) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы были совместны две равносильные системы уравнений относительно t(x) и v(x) :
{t,x}+^B2(t)t'2 = ^А2(х), (25)
Y ~ 6I^ + 6(7} + 3^JT + B3(t)t'3 = A37 (26)
v" - YTT + a^v' + + ^B2(Jx))U2V = 0, (27)
v"' + 3aiv" + 3a2v' + a3v - b3u3v = 0 (27'),
где A27 A3, B2, B3- абсолютные полуинварианты уравнений (1) и (2) для преобразования зависимой переменной, a A2, A3 = а3, B2, B3 = Ъ3 — относительные полуинварианты уравнений (X) и (2) для преобразования независимой переменной.
