Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
На множестве уравнений вида (1) определим отношение эквивалентности с помощью группы G преобразований KJI (v(x), J u(x)dx). Понадобятся также следующие подгруппы G : G\ = (v(x); id), G2 : (id; J u(x)dx).
Уравнения (1) и (3) будем называть эквивалентными, если существует преобразование gGG, такое, что (1)—>(3).
Инвариантом уравнения (1) будем называть такое отображение коэффициентов (1), которое постоянно на классах эквивалентности ЛОДУ относительно преобразований типа КЛ.
Более конкретно, инвариантом уравнения (1) относительно группы G называется такая рациональная дифференциальная функция (РДФ) I(A, А',...), где А = A(O, A2,..., An), что
I(A,A',...) = X(u)I(B,B,...)\t=fudx.
Если \(и) = 1, то / есть абсолютный инвариант, а если \(и) ф const, то / — относительный инвариант.
Аналогичным образом вводятся понятия абсолютного и относительного полуинвариантов для подгрупп Gi и G2. Например, коэффициенты A^ являются абсолютными полуинвариантами уравнения (1) относительно подгруппы Gi, т. е.
Ак(а,а',...)=Вк(Ь,Ь,...).
1. Постановка задач, терминология
145
Уравнения порядка п = 2 не обладают инвариантами, так как задача Куммера для них при достаточно гладких коэффициентах всегда разрешима, а имеют лишь полуинварианты.
Уравнение (1) порядка п = 3 уже обладает инвариантом.
Для уравнений вида (1) порядка п ^ 4, сверх того, введем понятия псевдоинвариантов и условных инвариантов.
Псевдоинвариантом уравнения (1) назовем такую РДФ
J„,fe(A А', ...) = р(и) Jn}k{B7B7.. .)\t=judx. Условным инвариантом уравнения (1) называется ограничение Jn,k{A, А1',.. .)\ia=in 1=...=iri к_1=о = In,k{A, А1',...). При этом выполняется условие
1п,к{А,А7...)=ц{и)1п,к{В,В,...).
С именем французского математика Г. Альфана связаны следующие две задачи (Halphen [319]).
Задача 1. Найти необходимые и достаточные условия эквивалентности уравнений (1) и (3).
Задача 2. Дать классификацию уравнений, описывая их как с помощью инвариантов, так и путем построения канонических форм.
Заметим, что эти две задачи связаны между собой. Два эквивалентных уравнения всегда принадлежат к одному и тому же классу. В то же время принадлежность уравнений к одному классу, вообще говоря, недостаточна для их эквивалентности. Требуется, чтобы они приводились к одной и той же канонической форме.
Сам Г. Альфан рассмотрел эти задачи для п = 3 и п = 4 (для п = 3 еще ранее соответствующие результаты по 1-й задаче получили французский математик Э. Лагерр, итальянский математик Ф. Бриоски, а также английский математик С. Кокль).
Используемые Альфаном преобразования выражались в явном виде и приводили к каноническим формам с Ь\ = 0.
Позднее английский математик А. Форсайт, используя преобразование вида (4), где и(х) удовлетворяет нелинейному уравнению 2-го порядка типа КШ-2, построил отличную от Альфана каноническую форму (Forsyth [310]), у которой Ъ\ = &2 = 0 (о подходах Альфана и Форсайта см. в книге (Wilczynski [416]). А в работе (Se-Ashi Yutaka [401]) для получения канонической формы типа Форсайта использован дифференциально-геометрический подход.
146
Глава З
2. Задачи Альфана для линейных уравнений 3-го порядка
2.1. Полуинварианты и полуканонические формы
Пусть даны уравнения
Ly = у"' + За1У" + За2у' + а3у = 0, ак Є С3~к(і)7 (1)
Mz= z' +Збіг+ 3M+ M = 0, bkGC3-k(j). (2)
Задачи Альфана состоят как в нахождении необходимых и достаточных условий, при которых уравнение (1) приводится к (2), так и в классификации уравнений по их каноническим формам. При этом будет использоваться преобразование типа КЛ (1.4). Нахождению инвариантов (относительных и абсолютных) будут посвящены последующие пункты данного параграфа. Здесь же ограничимся полуинвариантами, а также соответствующими полуканоническими формами. Для их построения воспользуемся специальными случаями преобразования КЛ:
у = ехр(— j aidx)z, dt = dx7 (3)
у = Z7 dt = ехр(— j агах)ах. (4)
Коэффициенты Ак являются абсолютными полуинвариантами относительно преобразования зависимой переменной вида у = \(x)z. А коэффициенты Ак являются абсолютными полуинвариантами относительно преобразования независимой переменной вида dt = ?(x)dx. Выражения Ак являются относительными полуинвариантами для последнего преобразования. Коэффициенты полуканонических форм даны в таблице 9.
Таблица 9
к
Ак
Ак
1
A1 =0
A1 = O
A1=O
2
A2 = а2 - а\ - а[
7 2 a 1 ,
A2 = а2 - -а\ - -а\
A2 = A2 ехр(2 j aidx)
3
Аз = аз + 2а^ — Заіаг — а'/
A3 = аз
Аз = A3 ехр(3 / aidx)
Назовем 1-й и 2-й полуканоническими формами уравнения (1) соответственно
z"' + 3A2Z1 + A3Z = 0, У +ЗА2у + A3y = 0.
2. Задачи Альфана для линейных уравнений 3-го порядка 147
При решении задачи эквивалентности будем вместо (1) и (2) рассматривать соответствующие им полуканонические формы
у"' + ЗА2у' + А3у = О, (5)
'z +3B2Z+ B3Z = 0, (6)
а вместо преобразования (1.4) — следующую подстановку:
у = v(x)z, dt = u(x)dx; v,u G C3(i), uv =/= 0, Ух Є і. (7)
