Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
12. В качестве «затравочного» уравнения с периодическими коэффициентами для процедуры «размножения» с помощью преобразования ЭИД может быть взято уравнение Ламе или его вырожденные случаи, представленные в гл. 1, табл. 1, 2.
13. Обратим внимание также на два совершенно разных уравнения с периодическими коэффициентами, которые получаются в результате использования различных процедур размножения, основанных на преобразованиях КЛ и ЭИД соответственно: (12.4) или (14.16), (14.17), а для уравнений, имеющих гиперболические функции в качестве коэффициентов, получим соответственно (12.5) или (14.14), (14.15).
14. Уравнение Шрёдингера (Додд, Эйлбек, Гиббон, Моррис [111])
у" + (к2 -х2)у = 0 может быть факторизовано при к = 1: (D — x)(D + х)у = 0. Взяв
L± = 1/V2(xtD), A = l/2(fc2-l),
получим L+L-у = Xy, причем выполняется коммутационное соотношение
[L+, L-} = 1.
15. Новым классам интегрируемых уравнений 2-го порядка был посвящен доклад автора в Дубне (см. [56]).
Глава З Задачи Альфана
«Чтобы решить новую задачу, мы всегда стремимся упростить ее рядом преобразований; но, поскольку в каждой задаче есть нечто существенное, это упрощение имеет выражение, которое никакое преобразование не в силе изменить. Отсюда значимость общего понятия инварианта, которое должно встречаться во всяком вопросе математики.»
А. Пуанкаре
В этой главе даются решения классических задач Альфана об эквивалентности и приводимости линейных уравнений гг-го порядка (п ^ 3). Как показано во 2-й главе, аналогичная задача Куммера для уравнений второго порядка при достаточно общих предположениях о его коэффициентах всегда разрешима.
Как известно, вопросы эквивалентности, классификации важны в любой области математики. За свою работу, опубликованную в 1884 г., в которой были классифицированы линейные дифференциальные уравнения третьего и четвёртого порядков, Альфан (Halphen [319]) был удостоен Grand Prix Парижской Академии Наук. Однако на протяжении длительного времени после этого классификация линейных уравнений более высокого порядка не была произведена. Можно лишь указать на работу чешского математика Z. Husty [325], в которой весьма громоздким способом была в основном осуществлена классификация уравнений 5-го порядка. Результаты Альфана, если и не были полностью забыты, то во всяком случае оказались полузабытыми. Автор в данной главе даёт классификацию уравнений произвольного порядка. Находятся инварианты и строятся соответствующие канонические формы. Применив метод факторизации и распространив понятие дифференциального результанта на нелинейные дифференциальные уравнения, предложен эффективный алгоритмичный способ нахождения инвариантов
1. Постановка задач, терминология
143
линейных уравнений как условий совместности соответствующих нелинейных уравнений. Установлена связь между каноническими формами, названными автором формами Альфана и Форсайта (Forsyth). Канонические формы уравнений (и, следовательно, их абсолютные инварианты) позволяют весьма эффективно решать вопросы интегрируемости. Как впервые показал Альфан, новые классы интегрируемых уравнений получаются, когда между абсолютными инвариантами выполняются алгебраические соотношения. В частности, придём к нелинейному стационарному уравнению Кортевега де Фриза. В этой же главе даётся решение задачи о приводимости линейных уравнений с переменными коэффициентами к уравнениям с постоянными коэффициентами, т.е. описан класс приводимых уравнений. Одним из критериев приводимости является постоянство абсолютных инвариантов. Приводимые линейные уравнения породили семейства нелинейных уравнений типа Ермакова и Куммера-Шварца высших порядков, для которых справедливы соответствующие принципы нелинейной суперпозиции.
1. Постановка задач, терминология
Пусть дано ЛОДУ n-го порядка (п ^ 3)
У
к
(і — открытый (конечный или бесконечный) интервал действительной оси х). От него всегда можно перейти к полуканонической форме
Lny = y^+Y(f\Aky^=0, АкєСп-к(і), (2)
fc=2 ^ '
путем подстановки у = ехр(— J a\dx)z и последующей замены z на у. Будем рассматривать также уравнение
Mn* = + Г\Bkz^-k\t) = 0, ВкєСп-к(з), (3)
fc=2 ^ '
(j — открытый (конечный или бесконечный) интервал действительной оси t), которое получено из полного уравнения
Mnz = *(»)(*) + Y1 Q)bkz^-k\t) = 0, ЬкЄ Cn-k(i), (3') путём подстановки z = ехр(— J b\dt)Z и последующей замены Z на z.
144
Глава З
Введем преобразование KL для уравнений гг-го порядка: X =
= (v(x),t(x)), где
у : і -> XR, v Є Cn(i), v ф О,
t: і ^ R1 t{i)=j, teCn+1(i), и(х) = ^фО {X)
и выполняется соотношение
у(х) = v(x)z( j u(x)dx). (Xr)
Преобразованию KJI (X) соответствует замена
у(х) = v(x)z, dt = u(x)dx, vu ф 0, Vre Є го; v, и Є Сп(і). г'о C г. (4)
Уравнения (1) и (3) глобально переходят друг в друга при преобразовании KJI (X), если соотношение (X') выполняется на полных интервалах inj. Если соотношение (X') выполняется лишь локально, то и уравнения (1) и (3) локально преобразуются друг в друга.
