Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
^2
(х - 2)2 Xs - 6х + 6
Ш = —-т і У2
х-1 ' ^ (х-1)(х-2) Другая факторизация:
L=(D+ --., ) ( D
(x-l)(x-2)J \ (х-1)(х-2) Другая фундаментальная система решений:
(х - I)2 X3 - 6х + 6
Уі = ——г-' г/2
ж-2 ' у" (а;-1)(а;-2)' Возьмем в качестве фундаментальной следующую систему функций:
(х-2)2 (х-1)
У1=х^Г> У2=х—2
16. Интегрирование уравнений с помощью программы SOLDE
Рис. 4
Пример 3. solde(l, 2/х, —1, ех/х); Дано неоднородное уравнение
2 єх
у" + % у' - У = --г-
Соответствующее однородное уравнение
У" + У-у = О
преобразованием
у = \.z, dt = dx
x
приводится к уравнению с постоянными коэффициентами
z — z = 0,
допускает факторизацию
138
Глава 2
Рис. 5
и имеет фундаментальную систему решений
Неоднородное уравнение допускает частное решение
ех(2х- 1)
Уо
Ax
Пример 4. Уравнение Лиувилля: solde(l, 0, р2 /(ах2 + Ъх + с)2, 0);
Уравнение
2
У" + ( 2 Л , МУ = 0-
(ах +ох + с)
Преобразование
у = \/ ах2 + Ьх + cz, dt = —~—--dx
ах + bx + с
приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:
z"(t) + AaC-bl + Ap2z(t) = 0.
16. Интегрирование уравнений с помощью программы SOLDE 139 Факторизация:
г 2ах + Ъ + л/-4ас + Ъ2 - 4в2п г 2ах + Ъ + J-Aac + Ъ2 - 4в2п
L = Ld+-\-— Ld--^-— L
L 2(ах2 + Ьх + с) П 2(ах2 + bx + с) J
Фундаментальная система решений (б2 — 4ас > 0):
yi = (2ах + Ь - Vb2 - 4ac)1/2+1/^b2-4ac(2ax + Ь + л/Ь2 - Aacf12-11 ^ь*~4а\
їй = (2ах + Ь - л/Ь2-4ас)1/2-1/^ь2-4ас(2а;Е + Ь + л/Ь2 - 4ас)1/2+1/^2-4ас.
Если б2 — 4ас < 0, то фундаментальная система решений может быть представлена в виде:
Рис. 6. Здесь о = 1; b = 2; с = 3.
Примечания к гл. 2
1. В работе (Berkovich, Rozov [275]) содержится обзор исследований по преобразованию ЛОДУ-2 с помощью преобразований КЛ и ЭИД.
2. Работы автора по заменам переменных нашли, в частности, отражение в книге (Заездный [124]).
3. Как уже отмечалось в п. 8, уравнение Стокса (Виллиса) является частным случаем уравнения Лиувилля (Безга). Однако до недавнего времени не было ссылок ни на работу (Liouville (Besge) [356]), ни на трактат (Boole [284]), где оно также встречается. Справедливости ради заметим, что в работе [356] не были выписаны явные формулы для решения, да и в [284] не был приведен полный анализ всех возможных случаев.
4. На основании работ автора [32, 50] и под его руководством были разработаны алгоритмические процедуры, связанные с поиском преобразований, факторизации и решений линейных уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами, включая и уравнение Лиувилля. Они были реализованы в системе компьютерной алгебры (системе аналитических вычислений) REDUCE (см. Беркович, Гердт, Костова, Нечаевский [67]). Дальнейшее усовершенствование указанных алгоритмических процедур было достигнуто в программе SOEDE (Berkovich Г., Berkovich F. [268,269]). А в работе (Беркович, Фролов [81]) было дано помимо аналитического также и графическое представление решения.
5. Преобразования КЛ позволяет расширить область применения ДУ специальных функций (см. [32]), приводит к уравнениям модифицированных специальных функций (УМСФ). Подробное исследование УМСФ проведено в работах (Штаерман [233], Манжаловский [172]), однако в них отсутствует унифицированный подход, связанный с задачей Куммера.
6. Приводимость уравнений может быть использована не только для получения точных, но и приближенных и асимптотических решений. В соответствии с типом факторизации (типом преобразования КЛ) точно решаемые уравнения могут служить эталонами для получения приближений типа ВКБ (Крылов [157], Андронов, Леонтович, Мандельштам [6], Олвер Ф. [197], Фрёман H., Фрёман П. [226]).
7. Уравнение Ермакова появлялось во многих работах в связи с задачами качественной теории ОДУ (см. Боль [87, 88], Hamel [322], Ельшин [121], Якубович [237]). А. М. Ляпунов [170] фактически применил преобразование
Примечания к гл. 2
141
KJI для линейных ОДУ 2-го порядка с периодическими коэффициентами. Повышенный интерес к работе (Pinney [385]) был связан в основном с тем, что в ней явно был указан принцип нелинейной суперпозиции. Другие применения уравнения Ермакова — в гл. 4.
8. Уравнение с тригонометрическими коэффициентами вида (12.4) вслед за автором построено в работе (Athorne [247]), где оно названо подклассом уравнений Айнса. При его построении было использовано уравнение Ермакова.
9. Связь уравнения (14.6) с теорией солитонов отмечается, в частности, в работах (Ohmiya Mayumi [376], Лэм [169], Захарьев, Костов, Плеханов [128]).
10. В работе (Инфельд, Халл [136]) для решения задач квантовой механики были успешно применены различные способы факторизации той части уравнения (14.6), которая не содержит А, но при этом предполагалось, что сам коэффициент ао зависит от некоторого параметра.
11. В работе (Новиков [190]) рассматривалась периодическая задача для уравнения КдФ щ = QuUx — иххх, где u(t,x) является периодическим потенциалом соответствующего уравнения Шрёдингера.
