Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
J а" + Ъ\а' + (bo — ао)а + ?(a'0 + аф\ — UQa1) + 2a1?' = 0
\ ?" + (&i - 2ai)?' + (bo -ao + al- ^b1 - a[)? + (сц - h)a -2a' = 0
(5)
От системы (5) перейдём к уравнению
(a' ?-a?' + а2 +b0?2 + ha?)' + (Ci1-^)(U' ?-a?' +а2 +b0?2 +ha?) = 0.
(6)
Общее решение уравнения (6) имеет вид:
a'? - a?' + а2+ a0?2 + axa? = K e/(»i-bi)<te (7)
K — постоянная интегрирования. Выражение (7) — первый интеграл (ПИ) системы (5).
Преобразование в себя (автопреобразование). Пусть Ъ\ = ai,bo = = ао- Тогда система (5) и ПИ (7) примут соответственно вид
Г а" + ага'+ ?a'0 + 2a1?' = 0 ^1,
\ ?" - ax?' - a[? - 2a' = 0, ^ >
a'?-a?' +a2 + a0?2 + ata? = К. (71)
15.2. О связи преобразований KJI и ЭИД
Теорема 1. Для того чтобы уравнение (1) преобразовывалось в себя, т. е. в уравнение
z" + U1(X)Z1 + a0(x)z = 0 (З1)
15. Задача Эйлера и преобразование ЭИД... 131
преобразованием ЭИД (2), необходимо и достаточно, чтобы
?{x) = u-Jx), а(х) = VV-1U'1, (8)
где v(x) и и(х) соответственно ядро и множитель преобразования КЛ
у = v(x)Y, dt = u(x)dx, (9)
которое преобразует (1) в уравнение с постоянными коэффициентами
Y +piY +poY = 0, pi, ро = const. (10)
• Достаточность. Исходим из системы (51), Как известно, согласно формуле (3.7), v(x) можно представить в виде
V = м-1/2 ехр(— і J a\dx) exp(ipi J udx). (11)
Согласно (9) имеем
/3 = и_1(ж), 2а = -и'и~2 - спи'1 + сь (12)
откуда непосредственно убедимся, что второе из уравнений (51) станет тождественно равным нулю.
Необходимость. Перепишем указанное уравнение в виде ?" — {a\?)' = = 2а' =>• ?' — a\? = 2а — с\. Введя обозначение ? = иГ1, получим (12). •
Замечание 1. В гл. 3 вновь встретимся с преобразованием типа ЭИД при рассмотрении приводимых ЛОДУ тг-го порядка (см. теор. 3.8.1, д).
В заключение приведём вид решения уравнения, к которому последовательно применены преобразования КЛ и ЭИД:
i QTS \ ~9 ~9 j aidx 1П ~9~ j udx і П -=г J иах
у = (?V — а)и 2е 1 (Сіє z + с2є 1 ), о ф 0.
При S = O решение можно представить в виде
y = (?V-a)u~K~^faidx(C\+C2 f udx).
132
Глава 2
Таблица 5
Дискриминант
Семейства решений уравнения (3.10)
Ol
± 61
aij/2+/3ij/i 2ч/57
02j/2 + /322/1
\/{ат + І3іуі){а2у2 + ?iyi)
у/Ayl + Ву2У1 + Cy'i exp L * arctg 2Л^±^ )
S3
(сеу2 + ?yi) exp ±— Уі--
L 2а(ау2 + ?yi) J
X^yMy2 +?yi)
2a
, A, /і = const
5ъ
/%exp(±g^ , /3^0, 7^0, a = 0.
Таблица 6
Дискриминант
Решения u(x) уравнения КШ-2 (3.5)
Решения t(x) уравнения KHI-3 (5.8)
Решения v(x) уравнения КШ-2 (3.9)
<5i
F(C^y2 + ?iyi)-1 X x{a2y2 + ?2yi)_1
VsI
«12/2 + ?iyi СЄ2У2 + ?iyi
V2 = («lJ/2 + ?lVl)x
x{a2y2 + ?2yi)
<Ь
F(AyI + вУ2Уі + Су?)-1
2 , 2Ay2 + Вуї ——= arctg-—=-
VS2 V-S2Vi
V2 = Ay2 + By2yi + Cy\
<53
F(ay2 +?yi)-2
У1
V2 = (ay2 + ?yi)2
a(ay2 + ?yi)
<54
Fy-1 (ay2 +?yiY1
aj/2 + ?yi
yi
V2 = yiiay2 + ?yi)
<%
FyT'2, F = exp(— J aidx) V2 = Vi J Fy-2dx
2/2
?yi
V2 = yi
Таблица 7
Дискриминант
Уравнение Лиувилля
R Э fei ф О
Фундаментальная система решений
: IW, W Є R
Si
у"-box x[(aix + ?i)x
x(a2x+ ?2)]-2y = O
V (QL1X + ft) X
x ^(а2ж + /32)х
д ±61/(2^)
аіж + pl
V(QU + ДО X
X у/(а2х + ?2)x
[(оіж + /Зі) X х(а2ж + /32)]1/2х
а2ж + 02
X in
2V^i
аіж + ?i
СЄ2Х + ?2
a2x+?2
у"-Ь0(Ах2+ Bx + C)-2y = О
VAx
VA
x"
VAx
+Bx + Cx
arctg
2Ax+ B
+Bx + Cx w
+Bx + С*
arctg -
S2 2Ax+ B
X < 2Ax+B
X arctg —-= V-S2
S3
x(ax + ?)~4y = 0
У - 7"тх
(ax + /3)
bi
2a(ax + ?)
(ax + /3)
cos sin
2a(ax + ?)
ax + /3
Sa
y"-7-J^-2y = ° (ax + /3)2
Vax + ?\ax + /3|±Ьі/2а
Vax + ?x W
2a
in \ax + ?\
(ax + ?)x x { , . 1
^ In \ ax
+?\
S5
y" - \b\v = 0
Ch Sh
cos sin
134
Глава 2
16. Интегрирование уравнений с помощью программы SOLDE 135
преобразованием
приводится к виду
у = X1^z1 dt = -—^z dx
z — bz = О,
допускает факторизацию
Ax) \ л/~ Ax
v X
и имеет фундаментальную систему решений
г/1 = X1/4 cos(2V—Ъх), г/г = х1^4 sin(2V—bx).
Пусть Ъ = - і, X Є (0, 100]. (См. рис. 3.)
Пример 2. Уравнение Д. Мордухая-Болтовского
solde(l, 0, -2/{х2 - Zx + 2)2, 0); Уравнение:
У" (х2-1 + 2ГУ = °-
Факторизация:
J1 — I JJ j__±_ w JJ__±_
[х -1){х -2)J\ (х-1)(х-2)
16. Интегрирование уравнений с помощью программы SOLDE
Программа для решения ЛОДУ второго порядка SOLVER OF LODE а2(х)у" + аг{х)у' + а0(х)у = f(x) © Л. М. Беркович, Ф. Л. Беркович, 1995 Самарская группа компьютерной алгебры Самарский государственный университет, Самара, Россия INPUT: solde(a2, аг, au, f); don't use E, I, T Для дополнительной информации наберите INFO();
Пример 1. (См. гл. 1, п. 9, пример 2.) solde(l, 0, 3/16/ж2 — Ь/х, 0); Уравнение
136
Глава 2
Рис. 3
Фундаментальная система решений:
