Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
ф-г-2п = (D + х)пф-ъ ф-з = 2хф-ъ ф-5 = (Ax2 + 2)ф_ъ ....
Общий метод состоит в разложении более сложных операторов второго порядка, которые встречаются в других задачах, на два взаимно сопряжённых линейных оператора первого порядка6.
14.2. Специальный класс родственных уравнений (3), (4)
Примем
Vk = Vo+1-
Тогда
Cin = а0 + 2[(ZnJf0)" + (lnm)" + ... + (Ыуп-г)"} = а0 + п(п + 1) ( Ъ- ) .
yn=[v-n^ ... 2>-2^ ) V-Щуо. \ VoJ \ Vo J \ VoJ
Это преобразование можно переписать в другом виде
Vn=Yl[V- k1^] V^y0 = Го+1 (Vo1W+1V-1Vo. Найдём представителей класса
Vn + [flo + п(п + 1) I ^ Myn = 0, а0,
\Уо Vo
См. также (Инфельд, Халл [136]).
14. Процедура «размножения» уравнений. .. 127
in \ г. ~ \ г. ~ fr+i \ га(га + 1)
lu. A0 = 0, уо = х; Afc =0, ук = xK+1, ап = —X---—, т.е. получим
x2
уравнение
" Л , п{п + 1)\ Уп - I А + ——2— Jyn=O. (13)
При A = O дифференциальный оператор (ДО), соответствующий (13), допускает факторизацию
v2 + n±±^=(v + ^±A (v-Ч1
где уо удовлетворяет уравнению (6) при А = Ao. Так как имеет место факторизация V2 + а0 — Xq = (V + ao)(V — ао), то из неё получим а0 = = Ao-CXg-CX0. Соответственно имеем сік = Xk — а\ — а'к. Будем также иметь
к к
ак = ао + 2 ^ olg-1 = A0 — CXq — CX0 + 2 ^ sa'Q.
S = I S = I
Здесь учитывается, что cxs_i = scxo- После несложных выкладок придём к формуле
а/с = A0 — cxg — CX0 + к (к + 1)сх0. Но, с другой стороны,
а/с = Afc - (к + I)2CX01 -(к + 1)сх0.
В результате придём к уравнению fc(fc + 2)(cx0 +а0) = ^k — Ao- При Afc = Ao получим уравнение вида а'0 + а0 = 0, которое имеет решение «о = 1/(а; + + с), с — постоянная интегрирования. Тогда ао(х) =0, Afc = Ao = 0, т. е. (6) имеет вид у" = 0. Приняв Afc = (к+ I)2, найдём для уравнения а'0 + сх0 = 1 решения вида схо = — th(x + с), схо = cth(x + с). Приняв Afc = —(к + I)2, найдём для уравнения а'0 + сх0 = —1 решения вида схо = — tg(x + с), схо = = ctg(x + с). В соответствии с теоремой 1 нетрудно построить ряд важных примеров.
14.3. Примеры родственных уравнений
Рассмотрим уравнения, порождённые уравнением
УО - Ay0 = 0. (12)
128 Глава 2
2°. A0 = 1, уо = ch х; Хк = (к + I)2, ук = chk+1 х, on =-Х- п^+1\
ch X
т. е. получим уравнение
/ гага + 1 \ , ч
9»Ч ^T" <14)
При А = (га + I)2 ДО, соответствующий (14), допускает факторизацию
га(га + 1) ch2 x
V2 - (га + I)2 + v 7 1 = (V + (га + l)thx)(2?- (га + l)thx).
3°. A0 = 1, уо = shx; Хк = (к + I)2, ук = shfc+1 х, ап = -Х - __!!+__,
sh. X
т. е. получим уравнение
Л га(га + 1)\ , ч
- А - -A-JL^ U„ = 0. (15)
\ sh X /
При А = (га + I)2 ДО, соответствующий (15), допускает факторизацию
п(п + 1)
V2 - (га + I)2--——- = (V+(n + l) cthx)(V - (га + 1) cthx).
sh x
4°. Ao = —1, уо = cosx; A^ = —(к + І)2, ук = cosfc+1 х, ап = —А — п(п +1)
---—-—-, т.е. получим уравнение
COS X
Уп - Л--2- ]Уп=°- (16)
\ COS X j
При А = -(га + I)2 ДО, соответствующий (16), допускает факторизацию га(га + 1)
COS2 x
5°. A0 = -1, уо = sinx; Хк = -(к + I)2, ук = sini+1 ж, ап = -X -
п(п + 1)
---—, т.е. получим уравнение
sin X
Уп - А - \ 2 ' Un = 0. (17)
V SlIl X /
X2 - (га + I)2 - V ; = (X - (га + 1) tgx)(X + (га + 1) tgx).
15. Задача Эйлера и преобразование ЭИД... 129
При А = -(га + I)2 ДО, соответствующий (17), допускает факторизацию га(га + 1)
V2 + (га + 1)2--v ' = (2? + (ra + l)ctgx)(2?-(ra + l)ctgx).
sin x
14.4. Операторные тождества
Введём следующие дифференциальные операторы:
к
A = V2+а0, Ak = V2 +ак, Lk = Yl[V-U8-!). (18)
S = I
где cik, Ci8 удовлетворяют условиям теоремы 1.
Теорема 2. Решениями операторных уравнений
ХкА = АкХк, к = 1,2,...
где А и Ak имеют вид (18), являются операторы
Xk = Lk,
где Lk находятся в (18).
• Непосредственно следует из принятого способа доказательства теоремы 1. •
15. Задача Эйлера и преобразование ЭИД для полных линейных уравнений
15.1. Постановка задачи в скалярной форме
(L. Euler [301], Имшенецкий [135], Darboux [292]). Пусть дано уравнение
у" + Ci1(X)V1 +а0(х)у = 0, аг(х)€ С}, а0(х) Є С/. (1)
Преобразованием Эйлера-Имшенецкого-Дарбу (ЭИД) вида
z = ?(x)y' - а(х)у, ?(x), а(х) Є С2 (2)
привести (1) к наперёд заданному виду
z" + Ъг(х)г' + b0(x)z = 0, h(x) Є Cj, h(x) Є C1. (3)
130
Глава 2
Иначе говоря,
1) по заданным уравненям (1) и (3) найти преобразование (2). Указанная задача допускает и другие варианты формулировок:
2) по заданным (1) и (2) найти (3);
3) по заданным (2) и (3) найти (1).
Данная задача использует тот вид преобразований, при котором независимая переменная остаётся одной и той же, но в качестве «компенсации» в него линейно входит у'.
Решение. Так как z' = (/3' — a1? — а)у' — (ao? + а')у, то
?^-аф-аф 0. (4)
При условии (4) нетрудно прийти к следующей связанной системе уравнений относительно а и ?:
