Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
01 0 b-a -la?'-d?
2 0 0 0 ?iv + (b - a)?" + 2(6' - a')?' + (b" - a")? =0. 0 2 0 0 ?"' + (b - a)?' + (b' - a')? 0 0 2 0 ?" + (b-a)?
(31)
Раскрытие этого определителя приводит к (30). •
Однако с целью сравнения с процедурой «размножения» уравнений, предложенной в пп. 10, 11, мы остановимся на следующей классической процедуре.
14. Процедура «размножения» уравнений с помощью преобразования ЭИД
Для дальнейшего будет удобно вместо (13.2) рассматривать преобразование
z = у' — ау (? = 1, а —> —а). (1)
Как известно, справедливы соотношения:
a" + (bo — ao)oi + а'0 = 0, бо = io + 2а'. (2)
Теорема 1 (Эйлер-Имшенецкий-Дарбу). Уравнение (13.1) порождает следующую последовательность уравнений
Ук + акУк = 0, (3)
к
ак = a0 + 2^2a's_1, (4)
S = I
где as-i удовлетворяет уравнению Риккати
a's-l + а1-1 + as-l = ^s-I-
Если обозначить
as-! = (lnys-г)1 =
У s-l
где г/s-i — собственная функция уравнения
y"-i + (as-i - A)ys_i = 0,
14. Процедура «размножения» уравнений. .. 123
к к
Ук = TT~ as-i)y = Y\(V~ ^—)Уі У = Уо, Ct0 = a, V = d/dx. (5)
У 8-Х
и -
S=I S=I
• Исходное уравнение (13.1) преобразованием
Уі = (D - а0)у0 = ^ - ^ I 2/0,
V уо)
где Ct0 (х) удовлетворяет уравнению
a' + a2 + а0 = X при А = Ao, а 2Уо — собственная функция уравнения
у" + (ао - Х)у = 0, (6)
отвечающая собственному значению Ao, приводится к виду
Далее преобразованием
2/2 = [V- — 2/1, І У1 /
где 2/1 — собственная функция уравнения
2/"+(а0 + 2(|) - AJy = O,
отвечающая собственному значению Ai, (7) сводится к уравнению
отвечающая собственному значению А = \.s-i, то решение ук(х) уравнения (3) можно представить в одном из следующих двух видов:
124
Глава 2
Продолжая так далее, найдём, что подстановка
Уп= \В-Ь=±) Уп_ъ (8)
V Уп-1
где Уп-1 — собственная функция уравнения
1-2 \ '
у';_1+ (ao + 2^(|j -Aj 2/„_! = О,
Ук
\ к=0
отвечающая собственному значению А„_і, приводит к уравнению
/ п-1 /~г\'\
Ук
у';+ ^ U=O,
к=о \Ук,
которое соответствует (3) для к = п. При этом подстановка (8) примет вид (5) для к = п.»
14.1. Собственные функции и собственные значения осциллятора Планка
Австрийский физик Э.Шрёдингер ([232], с. 239-247) применил метод факторизации дифференциальных операторов для определения кван-тово-механических собственных значений и собственных функций. Он характеризовал его следующим образом: «Привлекательная черта метода... заключается в том, что этот метод позволяет избежать громоздких преобразований, обращения за помощью к специально разработанным сложным математическим средствам для разложения в степенные ряды. Он даёт все собственные функции линейчатого спектра посредством одной вполне элементарной квадратуры».
Познакомимся с методикой нахождения собственных функций на примере осциллятора Планка. Соответствующее амплитудное уравнение
ф" - х2ф + \ф = 0 (9)
может быть записано одним из следующих двух способов:
(D-x)(D+ х)ф+ (\-1)ф = 0, (10)
(D + x)(D - х)ф + (X + 1)ф = 0,
(H)
14. Процедура «размножения» уравнений. .. 125
где дифференциальные операторы первого порядка (D + х) и (D — х) являются взаимно сопряжёнными. Обозначим через ф\ собственную функцию уравнения (9), удовлетворяющую собственному значению А. Если воздействовать на уравнение (10) оператором (D — х), получим уравнение
(D - x)[(D - x)(D + х) + (\- I)]Va = 0,
которое после перестановки операторов в квадратных скобках примет вид:
(D - x)(D + x)(D - х)фх + (X + I)(D - х)фх = 0.
Обозначив (D — х)ф\ = фх+2, придём к уравнению
(D -x)(D+ х)фх+2 + (X + 1)фх+2 = 0,
которое представим в виде
ф" - х2ф + (X + 2)ф = 0.
Применив оператор (D — х) к уравнению (10) п раз, получим
фХ+2п = (D- х)пфх,
где (D — х)пф\ — п-я итерация ф\. Таким образом, все собственные функции ф\п выражаются через ф\, представляющей собою решение уравнения (9), т. е. выражаются в терминах (9).
Пусть A=I. Тогда за ф\ можно принять решение уравнения ф[ + + хф\ = 0, т.е. ф\ = ехр(—X2/2). Оно получено с помощью одной квадратуры, выраженной в конечном виде. Следовательно, и все собственные функции ф\+2п выражаются с помощью одной квадратуры. Имеем
ф1+2п = (D- х)п ехр(-а;2/2), ф3 = 2хфъ ф5 = (Ax2 - 2)фъ
соответствующие собственным значениям А = 1,3,5,... ,2п+ 1,....
Собственные функции представляют собою ортогональные функции Эрмита ф2п+і = ехр(—х2/2)Нп(х), где п-й полином Эрмита Нп(х) может быть определён как
тт , ч , / 2л dnexp(-X2)
Hn(X) = (-1)пехф2)-^-
Щ(х) = 1, H1(X) = 2х, Н2(х) = Ax2 - 2, Щ(х) = 8х3 - 12х, Н4(х) = = 16а;4-48а;2+ 12,...
126
Глава 2
Аналогично находим собственные функции ф\-2п- Применив оператор (D + х) к (II) п раз, получим
(D+x)nipx =Ф\-2п-
Все собственные функции ф-і-2п можно найти, исходя из одной функции ф-1, которая определяется одной квадратурой, дающей решение уравнения 1-го порядка (D — х)ф-\ = 0, а именно ф-\ = ехр(ж2/2). Тогда
