Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Z2 ± 2ii2 + z2 = 0, a <S4j3 = 6і4з - 46о4,з = 0.
Замена V2 —> у2 даёт уравнение (2а), общее решение которого есть у2(х) =
= t/xS[Mcos(^) + Nsm(-^g)], М, N — постоянные интегрирования.
Уравнение (26) строится по той же схеме, что и (2а). Согласно лемме 5.1 (случай 3) с учётом значений коэффициентов &о4,з = 1 => &і4,з = ±2, получим общее решение уравнения (26):
у2(х) = T \Mch^r + Nsh?Jf-J , 7 = (2m + 1)/3. (3)
Если в (2а) (соответственно в (26) между двумя дробями будет знак минус, то в формуле для общего решения у2 вместо символов функций cos(ch) и sin(sh) следует поставить символы функций ch(cos) и sh(sin) соответственно.
12. Основная последовательность родственных уравнений 115
Ax2J V 4а;2 x2S4
Прменив подстановку у2 = v-iZ-i, dt = u-sdx, где м_з = М4;з = = x-1S-2, v-i = |гг4;з|_1//2 ехр(±^04;з J u4^dx) = JxS, придём к zl\ +
+Z-i = 0. Функция v-i = vi удовлетворяет уравнению ( -Цг ) с зависимой переменной г/і. Сделав замену
г/і = vqZ-2, dt = u^z,-idx, где u_3,-i = u4 = x~l,
v0 = \и4\
л12 exp(±Av/<51" j u4dx) = л/їехр(±^ Ina;) =
придём к уравнениям z_2 + i_2 + \z-2 = 0, причём v0 удовлетворяет
уравнению (0) с зависимой переменной у0. Заметим, что уравнение (26) допускает факторизацию
D - ^Jj. - r2uj ( T) + ^j1- - пи) у = 0, П,2 = ±1, где
Q ,., т і о т+1
2т+ 1
аГт + /За;"
и имеет общее решение вида (3).
Уравнение (26) обобщает примеры 1.9.1 и 1.9.2.
12.3. Два класса уравнений с гиперболическими и тригонометрическими функциями
Укажем ещё на два уравнения из 0-последовательности:
у" + т2у + d(a sin2 тх + 6 sin ma; cos тх + с cos2 тх)~2у = 0, (4)
у" — т2у + d(ash2 тх + bs\\mxc\\mx + cch2 тх)~2у = 0, (5)
вызывающие интерес по ряду причин. Они являются представителями класса уравнений Шрёдингера с интегрируемыми потенциалами и принадлежат
Заметим, что если потребуется упростить заданное уравнение, то можно изменить направление в БР-процедуре на противоположное. Вновь рассмотрим (2а), вернувшись к (0) по схеме
(о) "~3~4- /і \ и-з. С і і і
116
Глава 2
двусторонней О-последовательности
(-m2 + d(ash2тх + Ъch2тх + с)"2) "~5'~2; (-т2) ^ (0) (т2)
5,2> (т2 + d(ash.2mx + bch.2mx + с)-2).
Как следует из приведённой схемы, уравнения (4) и (5) — единственные уравнения, порождаемые БР-процедурой из уравнений (т?) и (—т2) соответственно.
12.4. К построению последовательности уравнений, явно зависящих от одной произвольной функции
Лемма 1. Если носитель ао уравнения (ао) может быть представлен в явном виде ао = —f2(x) — f'(x), то уравнение (ао) допускает факторизацию у" + аоу = (Т> + f)(T> — f)y = 0 и имеет общее решение у = exp(J fdx)(a Jехр(—2 J fdx)dx + ?), где а, ? — постоянные интегрирования.
• Прямой счёт (см. также (1.8.19), (1.8.20)).«
Лемма 2. Уравнение (—/2 — /') порождает на первом шаге следующие виды класса уравнений, зависящего от одной произвольной функции:
(-f -Ґ- b0,iF4(a^ + /3!)-2(а2Ф + /32)"2), S1 > 0
(-/2 - /' - b0,2F4(A<S>2 + ВФ + СУ2), S2 < 0
(-f - Г -Цз^4(аФ + /ЗГ4), S3 = O
(-f - f -boAF\a^ + ?)-2), 54=а2>0
(-f -Г- bo,5F4), S5 = 0,
где F = ехр(— J fdx), Ф = J ехр(—2 J fdx)dx.
• Вытекает из леммы 1 и леммы 5.1.«
Интегрирование уравнений, описываемых леммой 2, представлено в работах автора [49, 50].
13. Задача Эйлера и преобразование Эйлера-
Имшен едкого-Дарбу для неполных линейных уравнений
13.1. Постановка задачи в скалярной форме
(L. Euler [301], Имшенецкий [135], Darboux [292]).
13. Задача Эйлера и преобразование Эйлера-Имшенецкого- Дарбу 117 Пусть дано уравнение
у" + а0(х)у = О, U0(X)GC1. (1)
Преобразованием Эйлера-Имшенецкого-Дарбу (ЭИД) вида
z = ?(x)y' + а(х)у, ?(x), а(х) Є С] (2)
привести (1) к наперёд заданному виду
z" + b0(x)z = 0, bo(x) є С/. (3)
Иначе говоря,
1) по заданным уравнениям (1) и (3) найти преобразование (2). Указанная задача допускает и другие варианты формулировок:
2) по заданным (1) и (2) найти (3);
3) по заданным (2) и (3) найти (1).
Данная задача использует тот вид преобразований, при котором независимая переменная остаётся одной и той же, но в качестве «компенсации» в него линейно входит у'.
13.2. Постановка задачи в матричной форме
Перейдём от скалярных уравнений (1)-(3) к матричным, введя обозначения
Тогда вместо (1)-(3) получим соответственно
у = ay, (5)
z = ty, t=(a,_?ao det IVO, (6)
z' = bz. (7)
Требуется найти преобразование (6), приводящее (5) к (7).
В основном указанные задачи были решены в работах (Whiting [415], Heading [323]). Автору принадлежит унификация полученных результатов с использованием метода дифференциального результанта.
Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:
а) Уравнение (1) приводимо к (3) преобразованием ЭИД (2).
118 Глава 2
приводимо к (1).
ж) Система (7) преобразованием
Y = T-1Z, T-1
a + ? _?_ \
К К
a? - а' а_
К К J
(14)
приводится к (5).
з) Между дифференциальными операторами, характеризующими прямое и обратное преобразования ЭИД соответственно
