Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим задачу приведения уравнения (а^) преобразованием КЛ к уравнению (10.18), которое будем обозначать (±&i(fc+i), &o(fc+i))- Как и ранее, предполагаем 60(fc+i) вещественной, a O1^+1) - как вещественной, так
5Ранее автор называл её процедурой Куммера - Лиувилля (КЛ-процедурой) (см. [49, 50]). Однако, хотя она и связана с преобразованием КЛ, указанные учёные ответственности за эту процедуру не несут.
11. Процедура базисного «размножения» 111
V(l-k) =
Заметим, что из предложения 10.1 следует, что последовательность уравнений (afc) может быть представлена в виде
і
УІ — bos{asiy2s-l + Р8ІУи-іУ2(0і82У2з-1 + Рз2УІ8-і)~2]Ук = 0,
s = l
(asi?s2 - as2?si)2 = 8S, (3)
где yig, j/2s образуют ФСР уравнения (a3).
и чисто мнимой постоянными, связанными между собой нижеследующими соотношениями типа (1), (Iі)
Ц/е+1) = |(O2(fc+1) - (5(fc+l)), (1)
&0(/с)гА. + 1 = \(ЬЦк)ік+1 - 5(к)гк + 1), (Iі)
где
О ф &i(fc+i) Є &i(fc+i) = iu(k+i), і = л/—Ї, W(fc+i) є R, oi(fc+i) = 0.
(2)
Задача 1. (a(fc)) (1°'16)> (±&i(fc+i),60(fc+i))-
Результаты её решения для уравнения ((2(?)) представлены автором в [49, 50].
... (10.16)
Задача 2. (a(/c))-> (60(fe+i))-
Результаты её решения представлены автором в [49, 50].
11.2. БР-процедура
Предложение 1. (см. Беркович [49, 50]). 1) Для того чтобы от уравнения (?(fc)) перейти к уравнению (а^+ц) БР-процедурой, необходимо и достаточно, чтобы подстановка (10.16) привела (10.15) к (10.10), причём для Vk+i выполняются соотношения (10.17).
2) для того чтобы от (aперейти к (?(fc_i)) КЛ-процедурой, необходимо и достаточно, чтобы подстановка
Vk = vi-kZt-k, dt = u^_k)dx
привела (?(fc)) к уравнению (±&і(і_?), 60(i-fc)), причём должны выполняться соотношения
f>0(l-k) = -bo(k), &1(1—fe) = л/Ski M(i_fc) = U(k),
112
Глава 2
Рис. 2
БР-процедура представлена на Рис. 2.
Двустороннююю последовательность, порождённую уравнением (ао), можно изобразить следующей схемой:
/ n U(-2) , ч «(-1) , ч "(1) , ч "(2) , ч
... <— (?(-2)) -> (?(-i)) -> (ао) -> Ці)) -> (?(2)) —> ¦
Заметим, что БР-процедура, точнее задача 1, приводит к последовательности уравнений КШ-3 (10.23).
11.3. Задача Куммера о преобразовании уравнений
Рассмотрим задачу о приведении уравнения ак(х) к (?(fc+i)(t)) с помощью преобразования KJI
Ук+i = \t'k+1\~1,2yk, dt = uk+i{x)dx. (4)
Решение её приводит к следующему результату:
Предложение 2. Множество всех преобразований KJI, дающих решение указанной задачи Куммера, определяется из формулы
(х\ С1кУ1к(х) + С2кУ2к{х) Cifc + С2кУ\к(х)
Уік+lit) = -т—-т— = -;- , ч, (5)
сзкУік{х) + сАкУ2к{х) сзк + c4fclifc(a;)
где
Yik{x) = j у1к (x)dx, Yifc+i(i) = j ylk+1(t)dt, clkcik - c3fcC2fc ф 0,
представляющей общее решение уравнения КШ-3
{t{k+i)ix} + a(k+i)(t)tfk+i) = а(к)(х).
Из (5) путём обращения неявной функции находится новая независимая переменная tk+i, а также соответствующий множитель преобразования KJI:
„ _ i+' 1-1/2 V — \lk+l\
12. Основная последовательность родственных уравнений
113
12. Основная последовательность родственных уравнений
Определение 1 Основной последовательностью (О-последовательно-стью) назовём последовательность уравнений, порождённую уравнением у" = 0, или (0), с помощью БР-процедуры.
12.1. Уравнение Лиувилля как первый член О-последовательности
Применив к (0) подстановку
у= ViZi, dt = W(i)Gfe,
придём к уравнению типа (10.3), причём M1+) и Vi удовлетворяют уравнениям
1 3 ' и'п ^х 2
/ (і) \ ^
2M(I) 4VM(i)
типа (10.4) и (10.5) соответственно. В силу леммы 5.1 M1+) имеет следующие значения
Ui = (aix + ?i)~1(a2x + ?2)~1, Si > 0; U2 = (Ax2 + Bx + С)~г, S2 < 0;
U3 = (ах + ?)~2, <5з = 0; М4 = (ах + /З)-1, O4 > 0; Ms = I, 65=0.
Заменив в уравнении типа (10.5) Vi —> yi и подставив значения получим уравнение Лиувилля
y'l -b0ii)(ax2 + bx + c)-2yi = 0. (1)
Решения уравнения (1) получаются из леммы 5.1 и теоремы 5.1 (см. табл. 7).
12.2. Примеры для счёта
Для подробной иллюстрации БР-процедуры приведём пример, рассмотренный в книге (Фрёман H., Фрёман П. [226], стр. 137-139) в связи с исследованием радиального уравнения Шредингера для частицы в поле центральных сил:
2/2 + ^2+^2/2 = 0, S = a\nx + ?; (2а)
т(т + 1) і
X2 T4
у2=0,Т = -^х-+Рх^,тф-±.
(26)
114
Глава 2
Схема вывода уравнения (2а) такова:
Первый шаг БР-процедуры. Применив к (0) подстановку у = v\Z\, dt = U/±dx, где
і \ 2
іщ - |O4M4 = °. vl - 004«4«I = 0.
возьмём <?4 = 1, Ьо4 = — і, так что вспомогательное уравнение для Zi есть Zi — іZi =0. Положив «4 = j и заменив «і —> yi, придём к уравнению (-^-J, которое имеет общее решение у\ix) = \fx~S, а и /3 — постоян-
ные интегрирования.
Второй шаг БР-процедуры. Применив к ( —,
dt = U4 sdx, где
2
U43j -|54,3<3 = --^, < + "^2«2 - ^4,3<3«2 = 0,
возьмём 6о4,з = —lj Ун = и^з = уг2(а?ц + ?) 2. Уравнение для Z2 имеет вид
