Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
2 и 4
IU" 3(|) -\5и?=а{х), 5 = Ъ\-АЪ0, (4)
V = Н~1/2ехр(±і&іУ udx), (4і)
v" + a(x)v — b0u2(x)v = 0. (5)
Таким образом, наряду с (1) имеем другое линейное уравнение (5), возмущённое относительно (1). Этот факт широко используется в данной работе. Уравнение КШ-2 (4) является и называется сопутствующим (присоединённым) к (1). Помимо (4), сопутствующими для (1) будут также соответственно нелинейное уравнение Ермакова и нелинейное интегро-диф-ференциальное уравнение для множителя преобразования КЛ
v" + a(x)v - b0v-3 = 0, (6)
v" + a(x)v - &о&Г2«"3( [ v~2dx)-2 = 0. (7)
10. Последовательности «размножаемых» уравнений
10.1. Об одном следствии из задачи Куммера
Классическая задача Куммера состоит в нахождении преобразования зависимой и независимой переменных, приводящего локально исходное линейное уравнение 2-го порядка к другому уравнению того же вида. Она всегда разрешима (при достаточно гладких коэффициентах); уравнение
у" + а(х)у = 0, а(х)єС(І), I = {x\p<x<q}, (') = j- (1)
преобразованием KJI
у = v(x)z, dt = u(x)dx, u,v Є С2(І), uv ф OVr Є / (2)
может быть приведено к простейшему виду z = 0.
Нас будет интересовать следующий специальный случай задачи Куммера, а именно нахождение преобразования КЛ, приводящего (1) к уравнению с постоянными коэффициентами
z±blZ + boz = 07 (') = ft, (3)
где бо — вещественная, Ъ\ — вещественная или чисто мнимая постоянные.
Ядро (частота) и(х) и множитель (амплитуда) v(x) преобразования КЛ должны удовлетворять следующим уравнениям:
108
Глава 2
Кроме того, с преобразованием KJI связано ещё одно нелинейное уравнение, а именно КШ-3, которому удовлетворяет новая независимая переменная t:
{t,x} \st'2 = а(х), где {t,x} = \^-\K
(8)
— производная Шварца, а также линейное уравнение 3-го порядка для резольвенты
R'" + Aa(x)R' + 2a'(x)R = 0. (9)
10.2. Последовательности уравнений
Предложение 1. Уравнение (1) порождает следующую последовательность:
Ук+г +а{к+і)Ук+і = 0, (10)
к+1
o(fe+l) = а - b0(s) = C0I1St>
s=0
0(Zc+I) - o(fe) - Ц/c+l)
где M(sj удовлетворяет последовательности уравнений КШ-2
1М(«) _ 3
2 u{s) 4
1* 2
4O(s)M(S) = 0(S-I)5
(ю1)
(И) (12)
= ЬЦе) - 4&0(s)
суть дискриминанты характеристических уравнений
r2s±b1{s)rs + b0{s) =0.
При этом линейно независимые решения 2/(i,2)fc+i уравнения (10) имеют соответствующий вид
У(і,2)к+і = \u(k+i)\ 2 exp(±-61(fc+1) / w(/c+1)d:r), &i(fc+i) ^ 0, (13)
yife+i = \Щк+і)\ 2i Уїк+і = |и(/с+і)|2 / ufk+1)dx, bi(fc+i) = 0. (14)
10. Последовательности «размножаемых» уравнений 109
1 U(k+l) _ 3
2M(fc+i) 4
U(k+l)
и(к+1)
!<5(fc+1) w2fc+1) = а(к)- (20)
Уравнению (19) соответствуют следующие нелинейные уравнения (см. (6), (7)):
V1I+1 + a(k)vk+1 - 00(?+!)?+! = 0, &i(fc+i) = 0, (21)
vk+1 + a{k)vk+1 - b0(k+1)b1(k+1)vk+1{ j vk+1dx) = 0. (22) Укажем ещё на последовательность уравнений КШ-3 (см. (8))
{t(k+i),x} - ^<5(fe+1)i^+1) = a(fc), (23)
а также на последовательность уравнений резольвент (см. (9))
14+1 + 4а{к+1)Шк+1 + 2a[k+1)Rk+1 = 0. (24)
Уравнения (10) строятся одно за другим следующим образом. Произвольное уравнение
Ук+а(к)Ук = 0 (15)
подстановкой
yk=v^+1zk+1, dt = u{k+i)dx, (16)
где
V^+1 = |Wfc+i2exp(±i&ifc+i j Uk+idx), (17)
приводится к уравнению
Zk+i ± oi(fc+i)ifc+i + o0(fc+1)Zfc+i = 0, (18)
причём Vk+1 удовлетворяет линейному уравнению
v'Ui + a(k)Vk+i - bQ{k+1)U2k+1)Vk+1 = 0. (19)
Меняя в (19) обозначение Vk+1 на ук+i и учитывая (101), получим (10), а в силу связи (41), существующей между и(х) и v(x), придём к (13), (14). В то же время функция M(Z1+1) удовлетворяет (11) при S = к + 1, т. е.
по
Глава 2
Рассмотрим процедуру построения родственных уравнений (10), исходя из (1) (т.е. из уравнения (а(ж)) с носителем а(х)) с помощью преобразования КЛ. Назовём её процедурой базисного размножения (БР-проце-дурой).5
Все родственные уравнения интегрируются в терминах уравнения
(Ф)) = (°0-
Размножение уравнений, порождённых (а), можно представить в виде дерева, вершинами которого служат предыдущие поколения, задаваемые носителями (коэффициентами) а^+\), а ветвями — ядра и^+\у Заметим,
что (<2(fc+i)) Порождается ПОКОЛеНИЯМИ (<2(fc)), причём <2(fc+i) = Cl(k)ik+1>
df df
a(i) = ?(o)ii = aii ¦ Можно восстановить и всю «родословную»: (2(?+!) = = ailt...,ik+i 5 гДе h, ¦ ¦ ¦, ik+i зафиксированы и принимают одно из значений от 1 до 5. Соответственно представляется и W(^+I). Размножение происходит по геометрической прогрессии со знаменателем q = 5. Число уравнений,
спустя п шагов размножения, будет равно ап = 4(5n+1 — 1).
Рис. 1
Если в формуле (Ю1) &o(s) < 0 (o0(s) > 0), то уравнение (10) образуют правую (левую) последовательность, или верхнее (нижнее) дерево (см. рис. 1, на котором изображено верхнее дерево).
11. Процедура базисного «размножения»
11.1. Приведение к уравнениям с постоянными коэффициентами