Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
где можно принять n2(t) = а2 — ?(t). Из различных представлений величины n2(t) наиболее удобным является следующее:
Весь промежуток времени от 0 до T надо подразделить на несколько равных или неравных частей и для каждого участка определить постоянные а, Ъ, с так, чтобы на этом протяжении функция ao(t) с достаточной точностью представлялась выражением а2/[1 + b(t — с) ]2, тогда для каждого участка получим аналитическое выражение у.
Для первого участка произвольные постоянные определяются по начальным значениям. Ясно, что для второго участка начальные значения суть конечные значения для первого и т. д.
С подобного рода уравнением приходится иметь дело при исследовании вращательного движения продолговатого снаряда во время его полета.
8.5. Асимптотическое решение Мандельштама-Андронова -Леонтовича
В работе [6], впервые опубликованной в 1928 г., А.А.Андронов, М. А. Леонтович и Л. И. Мандельштам, основываясь на преобразовании Лиувилля и на ранее выполненном ими исследовании колебаний систем с периодически меняющимися параметрами, дали асимптотическое решение уравнения
(23)
n2(t)
I2—- ) + Ц2д1у = О, I = l(x), д = д(х), ? = const. (24)
104
Глава 2
Уравнение (24) описывает колебания маятника переменной длины I в переменном поле силы тяжести д. Асимптотическое решение уравнения (24) в случае больших ц имеет вид
где С и b — постоянные интегрирования.
8.6. Присоединённое линейное уравнение общего вида
Рассматривая задачу о приведении полного уравнения с переменными коэффициентами к полному уравнению с постоянными коэффициентами, мы видели (теорема 3.1), что при этом получаются следующие уравнения относительно функций и(х) и v(x): (3.5), (5.9), (3.10), а также (3.8). Подставляя значения и(х) из табл. 6 в (3.8), придём к уравнению
v" + сії г/ + uqv — bo ехр(—2 / a\d,x){ay\ + бг/гУі + су2) 2v = Q. (25)
Решения (25) представлены автором в [50].
9. Специальные виды факторизации
Результаты многочисленных поисков как явного вида преобразований, так и точных решений ЛОДУ 2-го порядка, собраны в виде списка (неполного) специальных факторизации. Чтобы эти поиски не носили исключительно эвристический характер, целесообразно применять метод факторизации дифференциальных операторов в сочетании с методом преобразований (табл. 8).
Пример 1 (Тип А): у" + \у' + (1 - -±-)у = 0. Преобразование КЛ: у = X^1I2Z, dt = dx. Факторизация:
X
0
Пример 2 (Тип Б), (Камке [139], N2.81):
/ = f(x), ?, 7 = const.
9. Специальные виды факторизации 105
у = z, dt = л/7— dx.
Факторизация:
L=[DT і л/7-J---J— + -JJ— \ [Dt іл/7--- .
Пример 3 (Тип В): у" T аі(х)у' = 0.
Преобразование KJI: у = z, dt = ехр(— j a\dx)dx. Факторизация: L (D T ajD. Характеристические корни: r\ = г 2 = 0. Пример 4 (Тип Г), (Камке [139], N 2.62):
У - ^У T-J^(X T Vx-S)V = O. \Jx 4ar
Преобразование KJI: у = exp(—Jx)z, dt = ij2x~xdx. Факторизация:
/2
где г\, Г2 удовлетворяют уравнению г2 + i~2~r + 1 = 0. Пример 5 (Тип Д), (Камке [139], N 2.377):
Преобразование KJI: у = л/х2 ± a2z, dt = —^-—-dx. Факторизация:
x Та
L=(D-r2^JH + ^H)(D-rl^]t 2 2.2l>
\ xz±az ar ± aV \ ar ± аА зг ± er '
где T1, Г2 удовлетворяют уравнению г2 + (62 ± a2)b~2 = 0. Пример 6 (тип E):
„ 2(Q+ 1) , /Q(Q+ 1) Ь \ п
У +-X-У + -o— + — I У = °-
Преобразование KJI: у = x~az, dt = Jbx~2dx.
Преобразование KJI:
106
Глава 2
Факторизация:
L=[D-
Q + 2 X
±iVb
1
Пример 7 (тип Ж), (Еругин [123], С. 79, 80):
(a + sin ж)2
cos2 X
1 sin ж
4 (a + sin;
2 (а + sin х)
2/ = 0.
Примем ро = (а + sin ж)2. Преобразование КЛ:
1
zz, dt = (a + smx)dx.
Факторизация:
L =
D + i(a + sin ж)
1 cosa;
2 a + sin X Пример 8, (тип 3), (Камке [139], N 2.80)
D ± і (a + sin ж)
1 cosa; 2а + sin X
У" - (у + 2а)у' + (J- + а2- Ь2 f2)y = 0, / = Да;).
Примем pi = —2а. Преобразование КЛ: у = eaxz, dt = ibfdx. Факторизация:
L = (D-a + bf -fj)(D-a + bf).
При конструктивном исследовании ЛОДУ 2-го порядка, как читатель мог уже убедиться, весьма эффективным является преобразование КЛ, с помощью которого во многих важных случаях удаётся проинтегрировать заданное уравнение в квадратурах или специальных функциях. Не менее важно и доказательство неинтегрируемости в конечном виде.
Пусть apriori известно, что данное конкретное уравнение является интегрируемым (неинтегрируемым). Как найти для него подходящую замену переменных, выражающуюся в конечном виде и сводящую его к некоторому интегрируемому (неинтегрируемому) эталонному уравнению?
Трудности, возникающие при поиске соответствующего преобразования, могут показаться непреодолимыми. Однако задача интегрирования ОДУ является достаточно важной, чтобы рассчитывать только на «везение».
В последующих параграфах (пи. 10-12) представлен регулярный способ (один из возможных) (Беркович [49, 50]) нахождения искомого преобразования.
10. Последовательности «размножаемых» уравнений 107
