Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
hJJ dx1
m =
д2т] дх2
дх
j д2т] J дхду
+У
д2т] ду2
дхду
У
ду2
О I Il ^? . Il
Зуу -- + у ду
дуУ ' _
дх2
дг] ду
+
дх
Определяющее уравнение Ли (3) для (1) представляет собой следующую систему уравнений относительно у) и г)(х, у):
[І(а'гу' + а'0у) + що + щаг + 7]2}F=0 дг] д2г\ ,0д(-
?а'0у + що + ai
дх дх2
ах охоу
2а
ду
JJ1 ду2
дхду
djj
дх2 = 0:
+ За0у
ду2 =
о
дг/
дх ' ду
ду = 0.
0;
(4)
Однако вместо того, чтобы рассматривать систему (4), можно найти алгебру Ли для простейшего уравнения 2-го порядка z = 0, а затем воспользоваться связью уравнения (1) с z = 0 посредством преобразования КЛ. Определяющее уравнение Ли для z = 0 представляет переопределённую систему уравнений
д2т]
~дё
dtdz
IJ2J,
dt2
Ij2J, 'dz2
д2т]
д?
dtdz
0,
откуда придём к восьмимерной алгебре Ли с базисом
8. Присоединенные линейные уравнения 97
X5 = у JvX1, X6 =у-Ц-, X7 = (j UdX)2X1 + (y/v j udx)X2,
X8 = (y/v j UdX)X1 + (у Jv)2X2, где u(x) удовлетворяет уравнению КШ-2:
YTT ~ 4 ("^) = Ао{х), а V = |w|~1/2 ехр(-1/2 ja\dx).
Замечание 1. В книге (Виноградов, Красильщик, Лычагин [97], гл. 8, с. 318) находятся симметрии уравнения
у" + а1(х)у' + а0(х)у = 0, а0 = + ^а\. (5)
Симметрии уравнения (5), в отличие от используемой в [97] техники, можно
найти, вычислив полуинвариант Aq = uq — ^a1 — ¦^a2. Тогда (5) допускает
факторизацию (D + l/2a\)(D + \ j2a\)y = 0. Следовательно, уравнение (5) подстановкой у = ехр(—1/2 J а^1х)г сводится к простейшему линейному уравнению z" = 0.
Кроме того, в [97] уравнение (5) названо уравнением бесселева типа, но так его вряд ли можно называть. Для уравнения (5) Aq = 0, тогда как для уравнения Бесселя
у"+у+(і - 4)у=°
полуинвариант Aq = 1 H---— ^ 0.
4эГ
8. Присоединенные линейные уравнения
Как уже отмечалось в п. 5, задача приводимости уравнения (ао) и (<2і, ао) к заданному виду (±&і, бо), где Ъ1, bo = const, порождает как нелинейные, так и линейные уравнения для множителя преобразования КЛ: (5.4) и (5.9). Их ФСР находятся согласно леммам 5.2 и 5.5 соответственно.
Что касается алгебры Ли уравнения (1), то она имеет вид
98
Глава 2
Что касается значений функции и2(х), входящей в (5.4) и (5.10), то они могут быть вычислены, исходя из решений присоединённого нелинейного уравнения КШ-2 (см. табл. 6). Так же, как и функция и2(х), решения уравнений (5.4) и (5.9) выражаются в терминах (ао) и (а\, ао). Таким образом, если известно решение уравнения (ао), можно алгоритмично найти и решение «сильно возмущённого» уравнения (ао — Ъ0и2). Алгоритмическая зависимость имеет место также между решениями полных уравнений (аі; ао) и (аі; ао — Ъ$и2).
8.1. Уравнение Лиувилля
Рассмотрим задачу приведения уравнения у" = 0, т. е. (0), преобразованием КЛ к виду (±&і; бо)- Из теоремы 3.1 следует, что для этого необходимо и достаточно, чтобы и(х) и v(x) удовлетворяли соответственно уравнениям
Iu" 3 (u' V Ir2 п 2 IT-I ^«J -4SU = °'
v" - Ь0Ьї2у-3( j V-2CIx)-2 = 0, Ъгф 0; v" - 60«-3 = 0,
v" - b0u2(x)v = 0. Подставляя в (1) значения и(х) из табл. 6, придём к уравнению
v" + к(ах2 + Ъх + c)-2v = 0, a, b,c,k = const. (2)
Заменив v^y, перепишем уравнение (2) в виде
у" + к(ах2 + Ьх + с)-2у = 0, a, b,c,k = const. (3)
Интегрирование уравнения (3), по-видимому, впервые рассматривал французский математик Besge, опубликовавший в 1844 г. соответствующую работу в журнале, издаваемом Лиувиллем (см. Liouville, Besge [356]). Интегрируемость (3) в конечном виде была доказана путём сведения его к интегрируемым случаям уравнения Риккати. Уравнение (3) обычно называют уравнением Лиувилля. Формулы для решения (3) приведены в табл. 7 (см. также работы автора [32, 50]).
8.2. Уравнение Стокса
Частным случаем неоднородного уравнения Лиувилля является уравнение
у" + q2(Ix — х2)~2у = р7 р, q71 = const, (4)
&i =0;
(1)
8. Присоединенные линейные уравнения
99
описывающее так называемую задачу Виллиса (см. Крылов [157-159], Па-новко, Губанова [202], Беркович [32]).
Оно появилось в 1849 г. в результате работы комиссии учёных, исследовавших причины обрушения в 1847 г. одного из английских мостов во время движения по нему пассажирского поезда.
Действительно, учет динамического воздействия подвижной нагрузки на упругую систему при определенных естественных допущениях приводит к уравнению (4). Им занимались Виллис, Стоке, Томсон (лорд Кельвин) и др. Стоке проинтегрировал уравнение (4), представив его решение в виде ряда, который для удобства пользователей затабулировал. Но вскоре Томсон нашёл решение в квадратурах. «Замечательный пример интегрирования» — так охарактеризовал это решение акад. А. Н. Крылов, неоднократно возвращавшийся к уравнению (4) в своих работах. В работе [32] автор получил общее решение (4), применив метод факторизации.
В 1883 г. французский механик Буссинеск (см. Boussinesque [285, 286]) применил к нему следующую подстановку