Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
которую допускает любое автономное уравнение. Уравнения Семенова (1), (3) и Зельдовича (1), (4) являются полуэмпирическими, и соответствующее им полулинейные ОДУ не допускают точечные симметрии, отличные от
д
X = —. Это явствует из найденного в [53] (см. также п. 1) полного списка от
зависимостей для F(и), которые, однако, не подчиняются условиям (3), (4).
В дальнейшем за полулинейное уравнение КПП будем часто принимать уравнение (см. Маслов, Данилов, Волосов [177], а также (1.17)):
d?u /4 . -,чий , 2(2 + ;/) +1
— -(- + !)- + —г-(и-и + ) = 0 (7)
(специальный случай (6) при r\=2jv, г 2 = 2jv + 1), где
396
Глава 7
Теорема 1. Имеют место следующие представления:
2q
fsem(u) = -fkpp(l -U)-(A- —)(fiog(l - и), (12)
fzeld(u) = -fkpp(l - U) - Aipiog(l - U), (13)
причем уравнения (8) и (9) обладают одним и тем же однопараметриче-ским семейством решений
и(т) = с/(с + еТ), (14)
где с — постоянная интегрирования.
• Выражения (12), (13) проверяются непосредственно. Решение (14) следует из того, что уравнения (10) и (11) обладают одним и тем же решением и(т) = ет/(ет + с).»
2.3. Факторизация полулинейных ОДУ
Определение 1. Уравнение (5) допускает факторизацию через нелинейные дифференциальные операторы первого порядка D — дк(и), к = = 1,2, D = d/сіт, если его можно представить в виде
(D - g2(u))(D - 9l(u))u = 0. (15)
Теорема 2 (Беркович [57]). Эталонное ОДУ
а2дТ(ф(и)иТ) + (aip(u) — b)uT + f(u) = 0 преобразованием
в = и, d? = —|—(іт ф(и)
приводится к уравнению Льенара
% + (a-V(O) - Ьа-2)вй + а-2/(в)ф(в) = 0
(при <р(0) = 0 получается полулинейное ОДУ).
В дальнейшем нам понадобятся вновь условия факторизации уравнения Льенара. Представим их в виде следующей теоремы.
Теорема 3 ([57], см. также предложение 5 АО А). Для уравнения Льенара
y" + $(y)y' + F(y) =0, (')=d/dx
2. Факторизация как метод нахождения инвариантных решений ... 397
(D-T2Tr2U Tl )(D — ri±r\u Tl )и = 0 и обладает однопараметрическими семействами решений
и = еГ1Т(±е<-Г2~Г1'>Т+ c)eri-r?, (16)
ибо оно совместно с уравнениями 1-го порядка и'(т) — г\и ± гіиГ2/Г1 = 0.
существует факторизация
(D - 92(V))(D - дг(у))у = О, D = d/dx,
где gi(y) и д2(у) удовлетворяют уравнениям Абеля 2-го и 1-го рода соответственно:
V2Vi^j-) + У9І + уЦу)ді + F(y) = О,
Теорема 4 (Беркович [54]). Если уравнение (5) допускает факторизацию (15), то оно совместно с уравнением 1-го порядка и'(т) — g\(u)u = О, а выражения д2(и), boF(u) имеют соответственно вид
92(и) = -gi(u) - Oi - ug[(u),
b0F(u) = biugi(u) - ug\(u) - 54(w)gi(w)w2.
• Доказательство проводится прямым счетом. •
Замечание 1. Факторизация позволяет значительно расширить число интегрируемых случаев ОДУ (1.14), так как она снимает жесткие требования на вид функции Ф(у), при которой (1.14) имеет точечные симметрии, отличные от трансляции (см. теорему 1.1).
Пример 1 (Маслов, Данилов, Волосов [177], с. 73). Уравнение
и"(т) - Ъи'(т) + и\п2(и)[Ъ - ln(w)(2 + 1п(и))] = О, Ъ = const
допускает факторизацию (D — Ъ + In2 и + 2 In и) (D — In2 и) и = 0 и обладает однопараметрическим семейством решений и = ехр(—1/(т + с)), так как оно совместно с уравнением и'(т) — и In2 и = 0.
Теорема 5. Уравнение (6) допускает факторизацию
Г2 — Г1 Г2—Г1
398
Глава 7
Пример 2. Уравнение (7) допускает факторизацию
(я-!-іт(і + !к/2) (в-1±1и^у = ъ
и обладает однопараметрическими семействами решений
ибо оно совместно с уравнениями 1-го порядка
и'(т) - |и±|^/2+1 =0. Пример 3. Уравнение (8) допускает факторизацию
(D+ 2и- ц){0 + 1 -и)и = 0
и имеет однопараметрическое семейство решений (14), так как оно совместно с уравнением 1-го порядка
и'(т) +и- и2 = 0. (17)
Пример 4. Уравнение (9) допускает факторизацию
(D + 2u)(D + 1 - и)и = 0
и имеет однопараметрическое семейство решений (14), т.к. оно совместно с уравнением (17).
2.4. Инвариантность уравнения КПП относительно преобразования КЛ
Общепризнанна фундаментальная роль уравнения КПП в естествознании. Как представляется автору, помимо других причин, это проистекает также из-за того, что соответствующее ОДУ остается инвариантным относительно преобразования Куммера-Лиувилля
и(т) = f(r)z, d? = h(r)dT. (18)
Согласно теореме Штеккеля-Ли (Stackel [404], Lie, Engel [352]), (18) есть наиболее общее точечное преобразование, сохраняющее линейность и порядок преобразуемого линейного ОДУ.
2. Факторизация как метод нахождения инвариантных решений ... 399
В действительности преобразование (18) может сохранять также структуру нелинейной части для ряда важных нелинейных ОДУ, встречающихся в приложениях и представимых в виде суммы линейной и нелинейной частей (см., например, Беркович [48], Berkovich [254]), и связано с группой симметрии, допускаемой исследуемым ОДУ. Поэтому уравнения, претендующие на определенную роль в естествознании, следует подвергнуть экспертизе с помощью преобразования KJI (18).
Теорема 6. Полулинейное уравнение КПП
