Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Беркович JI. М. Ответ (см. также Berkovich [253]): Автор не ставил себе целью решить полностью задачу об интегрируемости уравнения (14), так как для данной работы она не является основной целью. Однако автором найден полный список зависимостей для Ф(у), при которых (14) допускает точечные симметрии. Интегрируемость уравнения (14), (16), содержащего два параметра r\, г2, установлена здесь впервые. Частные случаи уравнения (14), (16), а именно (г\ = —2а, r2 = —За) и (п = —a, r2 = —2а), были проинтегрированы в работе (Painleve [379], см. также Камке [139], примеры
і 9 9
6.23 и 6.24). Специальный случай (14), (16 ), а именно (п = -, r2 = - + 1), то есть уравнение
y"-(| + iy + ^^(y-^+1) = 0, у > 1, Ф(у) = nr2y(l-^), (17)
388
Глава 7
было проинтегрировано в работе (Маслов, Данилов, Волосов [178]). Специальный случай (14), (1 б2), а именно (n = (A+l)/(A + 3), r2 = 2/(А + 3))
содержится в справочнике (Зайцев, Полянин [126]). Уравнение (14), (16 ) представляет собой уравнение Ермакова (Беркович [38]) (см. также гл. 2, 4). Частный случай уравнения (14), (166) при (b\ = —1, bo = —6/25) содержится в [126]. Если полулинейное уравнение (14) допускает только группу
трансляции X = -?-, то в качестве Ф(у) можно взять произвольную функцию. При Ъ1 = 0 (14) интегрируется в квадратурах. Интегрируемые случаи уравнения (14) при Ь1 ф 0, не допускающие точечных симметрии, отличных от группы трансляции, рассмотрены в [ 126]. Пример 22 (см. Ablowitz, Zeppetella [241]).
Рассмотрим уравнение Фишера (3). Будем искать стационарные решения (типа бегущей волны) u(x,t) = у(х — bi). Соответствующее ОДУ примет вид
у" + Ъу' + у-у2 = 0. (18)
Для его интегрирования достаточно, чтобы его можно было представить:
2r2— г і
у" - (п + г2)у' + пг2(у - у ri )=0
(19)
(см. теорему 1, случай 1), что эквивалентно условию
(2r2 - V1)Zr1 = 2.
(20)
Уравнение (18) примет вид
Отсюда Ъ = — 5/2n, Ь2
у" -5/2r1y' + 3/2rj(y-y2) = 0. Ъ2 = 25/4r2 = 25/6, т. е. (18) становится
у" ± 5/VGy' + у - у2 = 0.
(21)
(22)
Оно имеет однопараметрические семейства решений
е
1
(23)
У =
і
2Cm. также сноску-примечание к п.5.12.2.
1. Применение метода преобразований к уравнению КПП.
389
С другой стороны, поскольку показатель нелинейности равен п = 2, то возможно представление линейной части уравнения (18) в виде
у" + by'+ у = у" + Ь1У' ± ^Ъ2у.
(24)
При верхнем знаке получается предыдущий случай. Но при нижнем знаке будем иметь волну, перемещающуюся с чисто мнимой скоростью Ъ = = +Ы/\/Ъ (см. теорему 1 (случай 6) и теорему 3 (случай 6)). Явный вид комплексных решений следующий:
У = -1
X
\еТ^Х +С)
= -1
1 + се
(231)
Эти решения удовлетворяют согласно сказанному выше уравнению
0. (221)
У" ± Ц-у1 + у-у2 л/6
Замечание 3. Решение (23) было получено в работе (Ablovitz, Zeppetella [241]), используя тест Пенлеве, поскольку при b = ±5/\/б уравнение (18) имеет Р-тип. В книге (Абловиц, Сигур [1], с. 304, упр. 4) сказано, что авторы работы [241] «нашли, по-видимому, единственные явные решения этого уравнения». А в препринте (Данилов, Субочев [ПО]) говорится, что для (18) «формулы для точного решения при Ъ ф ±5/\/б до сих пор не известны».
В силу (221X (231) получены еще два значения Ъ, при которых получаются точные решения. Однако, если рассмотреть более общее уравнение
у" ± Ьгу' + Ъ0у + су2 = 0,
(181)
то здесь имеем более широкие возможности для нахождения точных решений, зависящих от с и коэффициента b\. Случай А: Уравнение
у" ± Ьгу1 + ^bKy -у2) = 0
(241)
390
Глава 7
имеет решения:
cj
±--х
(242
Случай Б: Уравнение
имеет решения
у"±Ъ1У'-^Ъ1(у-у2)=0.
(243
SZ=I-
1 -
±1 + се 5
(244
(см. теорему 1 (случай 6) и теорему 3 (случай 6)).
1.4. Об одной краевой задаче для уравнения КПП
Рассмотрим теперь полулинейное уравнение КПП
и"(т) + Ьіи'{т) + Ф(и) = 0 при ограничениях (2). Оно имеет вид в силу теоремы 1
(25)
u"(r)-(n+r2)u'W + nr2 [(u+j^)-(u+f^){2ri-r2)/ri\ =0, (26)
если допускает точечную симметрию с X ф 9/<9т, a r\, г2 удовлетворяют характеристическому уравнению г2 + Ь\г + bo = 0.
Если (25) допускает лишь группу трансляции X = д/дт, то в качестве Ф(и) может быть взята любая функция, удовлетворяющая (2), например, Ф(м) = sin7Tit, Ф(м) = и — uu+1, v ^ 1 ж др. Отметим также, что стационарные решения уравнения (1), (2) удовлетворяют ОДУ
кЩ+Fiu) = 0. dx
1. Применение метода преобразований к уравнению КПП... 391
где X = Vb2 - 4а2, Ъ > 2а.
Частным случаем теоремы 4 является результат, содержащийся в ([178], с. 184, теорема 2.1а).
1.5. О связи уравнения КПП с уравнением Эмдена - Фаулера
Применив метод автономизации (гл. 4) к классическому уравнению ЭФ у" + а/ху' + cxm~1yn = 0, а также результаты п. 1 к уравнению КПП, придём к теореме:
Теорема 5 (Беркович [60]). Уравнения КПП и ЭФ могут быть преобразованы друг в друга в соответствии со следующими схемами:
Теорема 4. Следующие условия эквивалентны:
