Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Однако и при этом остается немало рутинных выкладок, которые автор счел возможным опустить, тем более, что в данной работе неоднократно демонстрировались и метод Ли и метод автономизации.
Замечание 1. 3-й закон изменения Ф(у) представляет собой предельный случай как 1-го закона (г\ —> 0, г 2 ф 0), так и 2-го закона (г2 —> 0, г і ф 0); 4-й закон для Ф(у) соответствует отсутствию в нем линейного члена в качестве слагаемого и является частным случаем как 1-го закона (г 2 = 0), так и 2-го закона (r\ = 0); 5-й закон соответствует 1-му и 2-му законам при r2 = г\. 6-й закон соответствует 1-му закону, если положить bo = jg0I- Однако, если принять bo = ~250I' то уже имеем отличные от 1) и 2) случаи.
Замечание 2. Теорема 1 обобщает один из результатов работы [48], в которой были указаны следующие зависимости для Ф(у):
2+Зіу _
®{у) =-v(v+ l)y +sy~~^, Ф(у) =-v(v + l)y + sy v+1 ,
Чу) = I + se2*y,
соответствующие значению Ъ\ = — 1, а также дополняет работу (Беркович [53]), в которой не был указан 6-й случай.
Групповая классификация уравнения (14), приведенная в книге (редакторы: Виноградов, Красильщик [98], с. 57) со ссылкой на (Lychagin [362]), не является полной. Например, там отсутствует случай 6).
Теорема 2. Уравнение (14), (16) интегрируется в квадратурах; при этом соответствующие замены переменных и преобразованные уравнения имеют следующий вид:
1) у = eriXz - dt = e^-^dx; z + sz^r2-ri)/ri = 0;
1. Применение метода преобразований к уравнению КПП... 385
2) у = er2Xz - f, dt = e^-r2)xdx; z + sz(2^-^)A-2 = 0.
3) у = z - ±x, dt = e~blXdx; z + se2b'z/q = 0;
Qi
4) у = e~blXz -q, dt = eblXdx: z + s/z = 0
5) у = e±V^xz --4-, dt = eT2V^xdx; z + s/z3 = 0;
2bi bi
6) у = e~~xz + Ub0 - -f-bj), dt = e~~5xdx; z + kz2 = 0.
ZK Zu
• Генератору симметрии (15) соответствует система ОДУ
dx dy
?(х,у) г)(х,у)
dt,
интегралы которой дают новую зависимую и независимую переменные преобразованного автономного уравнения. Последовательно имеем:
dx - dy -dt,
ЧУ + F^2-) = еГ1Ж + lnci ^ У + fjf- = cierix, или
у = ё L z ¦
Г\Г2
dt = e{ri-r2)xdx.
Эта замена преобразует уравнение (14), (16і) в уравнение z+sz(2r2~Tl^ri = = 0, т. е. имеет место 1). Аналогичным образом доказываются и остальные утверждения теоремы 2. •
Теорема 3. Уравнение (14), (16) допускает следующие однопарамет-рические семейства элементарных решений
1) у = ег^^е(г2-п)х + c)n/(n-ra) _ q^ s = _ГіГ2.
386 Глава 7
q
л/Ае2^-^ - lV-ЬъВ - 46оС7е-2^-ь«
5) у=--_. + -:-v "---, B2-4AC = 4s.
°о 2v^bo
6) У =^(00
• 1) Полагая і = р(г), понизим порядок уравнения 'z + sz(2r2~ri^ri = = 0. Имеем pdp + sz^2r2^ri^ridz = 0. Положив s = —г\Г2, получим при интегрировании р2/2 — r2/2z2r2^Tl = с\, где с\ — постоянная интегрирования. При Ci = 0 имеем распадающееся ОДУ z2 — r^z2r2/ri _ КОТОрое дает: (і — r\zr2/ri)(z + r\zr2/ri) = 0. Отсюда следуют два искомых однопараметрических семейства решений
у = еГіХ{те{г2~Гі)х + с)г^{г1-Г2) - q/bo.
2) справедливо в силу 1).
3) Понизив порядок автономного уравнения z + se2bl^qz = 0 стандартной подстановкой і = p(z), придем к уравнению pdp + s exp(2b2/qz)dz = = 0. Интегрирование дает р2/2 + sq/(2b2) exp(2b2/qz) + сі = 0. Полагая s = —b\jq, Ci = 0, придем к разложению (і — exp(b2/qz)) х (і + + exp(bf/qz)) = 0. Получим два однопараметрических семейства решений в плоскости (t, z) : с + t = ±q/blexp(—b2/qz). В исходных переменных х и у будем иметь:
2) у = (Те(гі-Г2)х + ^r2Z(V2-T1) _ q^ s = _ПГ2.
3) y = -l*-^n{±bie-^+c)lS = -%
4) erf^-ln(y + q)-blx = T\?(eblX + с), s = bi
X
2 f ^
er fx = - / е-* dt — интеграл вероятностей;
\/тт J
1. Применение метода преобразований к уравнению КПП.
387
4) Той же самой подстановкой, что применялась выше, приведем уравнение z + s/z = 0 к виду р2 + 2slnz = с\. При с\ = 0 имеем і =
= ±\/—2slnz. Возьмем s = Ь\. Разделение переменных дает — =
у2Ьі\/—Inz
= ±dt, или J ^z = ±л/2(6і? + с). Замена переменной интегрирования
у—Inz
a2 = — Inz дает J ^z = —2 J е~а da, что приводит к интегралу веро-V— In z
ятностей —— J е~т dr = erf а. Так как а2 = — Inz = — lnehlX(y + q) =
1A-OO
= — Ъ\х — ln(y + q), придем к формуле 4) теоремы 3.
5) Уравнение z + s/z3 = О есть частный случай уравнения Ермакова. Поэтому его общим решением будет z = л/At2 + Bt + С, В2 — 4AC = 4s. Подстановка у = e±^~baXz — , dt = eT2^~baXdx дает 5) из теоремы 3.
Oo
6) Проверяется непосредственно (см. также гл. 5, пп. 3, 8). В силу замечания к теореме I случай bo = т%Ь\ соответствует I), но уже при
bo = — 7%~b2 имеем новые точные семейства решений. •
1.3. К вопросу об интегрируемости уравнения (14)
Olver Р. (международная конференция «Современный групповой анализ — V», Йоханнесбург, январь, 1994).
Вопрос: Были ли известны найденные Вами случаи интегрируемости уравнения (14) и исчерпывается ли ими задача интегрируемости в конечном виде этого уравнения!
