Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
1.1. Переход к полулинейному уравнению
Более общим, чем (1), является уравнение
где р(и), F(u) > 0, и Є (0,1), р(0) > 0, р(1) > 0, к > 1.
380 Глава 7
b^-a2^-R(O)=O, (6)
называемое полулинейным уравнением, где 6>(?) — гладкое монотонное решение (6), а clR/сІв — непрерывная функция при в Є [0,1]. Известен следующий результат:
Предложение 1. ([177], с. 67). Уравнение (6) преобразованием
сводится к (5), где F (и) = R(U)U1 ~к/'(kp(uj).
Покажем, что локализующее отображение (7) может быть получено как следствие метода точной линеаризации, см. гл. 5. Этой цели служат следующие два предложения:
Предложение 2. (Беркович [34], см. также теорему 5.2.2). Для того чтобы уравнение
у" + ї(у)у,2 + ьМу)у' + Ф(у) = о, (8)
у = у(х), (' ) = d/dx, Ъ\ = const могло быть линеаризовано, то есть приведено к виду
z + b\z + boz + с=0, z = z(t), bo, с = const, ( ¦ ) = d/dt (9)
нелинейной заменой зависимой и независимой переменных типа у = = v(y)z, dt = u(y)dx, необходимо и достаточно1, чтобы имело место
Ф(у) = уехр(- / fdy)(Ь0 / </зехр(/ fdy)dy + c/?), (10)
'Имеется еще вырожденный случай, соответствующий V = ay + 6, 6 ф 0, который здесь не рассматривается.
Поиск инвариантного решения типа бегущей волны u(ax+bt) = и(т) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ)
-ад = о. (5)
называемому эталонным уравнением. С (5) связано другое ОДУ, а именно
1. Применение метода преобразований к уравнению КПП... 381 причем (8), (10) приводится к (9) преобразованием
Z = ? I уз ехр ( / fdy)dy, dt = (p(y)dx (11)
(? = const — нормирующий множитель).
Предложение 3 (Беркович [53]). Уравнение (8) в случае, когда ф{у) не удовлетворяет условию (10), приводится к полулинейному виду
z + M + o(z) = 0, ?expffdy
(б1)
<р(у)
-Ф(у)
y=y{z)
заменой (11).
• Предложение 1 есть специальный случай предложения 3. Представим (5) в виде
d2u dr2
1 dp k - 1
р(и) du и
du dr
b 1 ui-kdM + J>Lui-k = Q.
ka2 p(u) dr a2kp(u) Преобразование (11), примененное к (51), примет вид d?
kp(u
Положив ? = k, придем к замене
в = и, d^
1 -и1~кат, в = Чи.
1 -U1^dT,
kp(u)
(5і) (12)
(12і)
которая эквивалентна отображению (7). •
Пример 1. (см. Abraham-Shrauner, Guo Ann [242]). Возьмем частный случай уравнения диффузии
щ = D(uqux)x +аир,
(41)
где u(x,t) есть плотность, X — положение, t — время, D — коэффициент диффузии, a q,p и а суть постоянные. Рассмотрим решение типа бегущей волны и = и(х — сі), с = const. Эти решения удовлетворяют ОДУ 2-го порядка
D-f(uq^) + + аир = 0, т = х- et, d,T d,T d,T
(52
382
Глава 7
d4 + %(<??+ ±и-*^ + ^-9 = 0. (53)
dr а ClT JJ ClT JJ
Найдем условие точной линеаризуемости. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение (10). Обозначим коэффициенты уравнения (53) следующим образом:
f = l V = ^
Должно выполняться соотношение
P du г г. du
%P = u-qe~4i «(60 u-qeqJ « du + k/?) = a/Dup-q, k,? = const,
(го1)
откуда следует
P=i-q- (13)
Таким образом, подстановкой
в = и, dS, = u-qdT (122)
уравнение (41) приводится к линейному виду
O"(0 + c/D9'(0 + а/DO(Z) = О-
В работе [242] было приведено условие линеаризации (13) и даны ссылки на работы, где указано (13) и рассмотрен частный случай q = —1, р = 2.
1.2. Групповые свойства полулинейного уравнения КПП
Найдем точечные симметрии полулинейного уравнения типа (6), соответствующего (1), которое представим в виде
у" + hy' + Ф(у) = 0. (14)
Теорема 1. Для того чтобы уравнение (14) допускало точечную симметрию (однопараметрическую группу Ли) с генератором
Х = аХ,у)?+ф,у)± Хф?, (15)
1. Применение метода преобразований к уравнению КПП.
383
необходимо и достаточно, чтобы Ф(у) и X приняли один из следующих видов соответственно
1) Ф(у) = b0F(y) = T1T2 [(у +?^-) + ?^(y+ Л-^-пУп
X = exp((ri — г2)х)
дх +Г1^У+ V1T2) ду
2) Ф(у) = b0F(y) = T1T2 [(у + 4-) + ф-2{у + 4^)(2Г1"Г2)/Г2]
X = ехр((г2 — T1)X)
д-+Т2(у+— )-
где T1, T2 удовлетворяют уравнению г2 + Ъ\г + bo = 0;
3)
2b2
= q + sexp(-^y), g ^ 0,
ехр(М(^-?), ^0 = 0;
(16)
4)
9
9
Ф(у) = s(y + q) \ X = exp(-6ia;)(^ -b^y + q)-^-)
ду
5) Ф(у) = b0F(y) = bo
(у + г) + г(у + гГ3
Do Oo Oo
bi = 0,
-1,2 = Є
д
6)
Щу) = ЬоУ+^(Ь20-§^ЬІ) + ку2,
X = ехр(
А.
дх
26і
5
5?1
У" УгЛьо
25Olj
_9_ 9у,
План доказательства. Определение точечных симметрии уравнения (14) с указанием законов изменения функции Ф(у) является задачей
384
Глава 7
групповой классификации, использующей метод определяющих уравнений Ли. Поскольку (14) имеет линейную часть, то может быть применен метод автономизации (см. гл. 4), точнее он может быть распространен с линейных неавтономных уравнений на нелинейные автономные уравнения (Беркович [48]). При этом в качестве целевых уравнений выступают как линейные однородные уравнения, так и линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Наиболее эффективным является совместное применение метода группового анализа (МГА) и метода автономизации (MA), ибо при этом становится возможным лишь следующий вид генераторов симметрии
