Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
В. И. Арнольд
Для нахождения инвариантных решений (типа бегущей волны) и автомодельных решений нелинейных эволюционных уравнений (НЭУ) в настоящее время применяются различные методы: метод обратной задачи рассеяния, или метод L-A пар Лакса, алгебро-геометрический метод, а также т. н. прямой метод Хироты и ряд других методов (см., например, Захаров, Ma-наков, Новиков, Питаевский [127], Калоджеро, Дегасперис [138], Абловиц, Сигур [1] и др.).
Поскольку эволюционные уравнения при этом приводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ), то для нахождения точных решений были сделаны успешные попытки применения теста Ковалевской-Пенлеве. В данной работе автор применил групповой анализ ОДУ в сочетании с такими развитыми им методами преобразований, как методы автономизации и точной линеаризации, а также методами факторизации линейных и нелинейных дифференциальных операторов.
378
Глава 7
Кратко опишем содержание отдельных параграфов.
1. Фундаментальные результаты по решению краевых задач и поиску инвариантных и автомодельных решений для нелинейных уравнений диффузии (теплопроводности), так или иначе связанных с уравнением Колмогорова-Петровского-Пискунова (КПП), были получены и систематизированы в монографии (Маслов, Данилов, Волосов [177]). Автором интегрируемые случаи уравнения КПП были получены прямым методом преобразования переменных, сочетающим классический метод группового анализа (Овсянников [194], Олвер П. [196]) с методом автономизации (гл. 4, см. также Беркович [48, 61]). Кроме того, выявлена связь между уравнениями КПП и Эмдена-Фаулера (см. также [60]).
2. Предлагается еще один прямой метод построения инвариантных решений уравнения КПП и некоторых других уравнений, основанный на факторизации полулинейных ОДУ. Установлена связь между логистическим уравнением и уравнениями КПП, Семенова и Зельдовича. Найдены условия факторизуемости автономного уравнения Льенара. Показано, что полулинейное уравнение КПП инвариантно относительно т. и. преобразования Куммера-Лиувилля, наиболее общего точечного преобразования, сохраняющего линейность и порядок уравнения.
3. Рассматривается нелинейное уравнение теплопроводности, в котором имеют место существенно нелинейные зависимости функции источника теплоты и коэффициента теплопроводности от температуры.
Нестационарный процесс нагрева называется режимом с обострением, если температура обращается за конечный интервал времени в оо, по крайней мере, в одной точке пространства (см. Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов [210]). Основополагающие работы по изучению режимов с обострением собраны в [208]. Автор получил автомодельные решения, описывающие режимы с обострением, отличным от работ [208, 210] способом, а именно методом точной линеаризации. Отмечается, что полученные автомодельные решения квазилинейных уравнений были использованы авторами книг [208, 210] не только для объяснения явлений воспламенения и угасания пламени, но и для исследования демографических процессов при применении синергетического подхода.
4. Построен новый класс НЭУ гг-го порядка, зависящий от двух произвольных функций и п параметров, для решений которого справедлив соответствующий нелинейный принцип суперпозиции.
Оказалось, что данный класс НЭУ имеет отношение к идемпотентному анализу, развитием которого занимается В. П. Маслов с сотрудниками (см., например, Маслов, Колокольцов [179], Otvinov, Maslov [359]).
1. Применение метода преобразований к уравнению КПП.
379
1. Применение метода преобразований к уравнению КПП и некоторым другим уравнениям
Уравнением Колмогорова-Петровского-Пискунова (КПП) называется нелинейное уравнение диффузии вида
^ = кЩ + F(u), к = const, (1)
at дх
где нелинейная функция F (и) удовлетворяет условиям
F(O) = F(I) = О, F'(0) = a, F'(u) < а, 0 < и < 1, ( ' ) = d/du. (2)
Оно рассматривалось в работе (Колмогоров, Петровский, Пискунов [152]) в связи с задачей нахождения инвариантных решений типа бегущей волны и(х, t) = и(т) (однофазное решение, стационарное решение), т = = ах+Ы. Частным случаем (1), (2) является известное в генетике уравнение Фишера (КППФ)
ди д2и , Z1 ч /0ч
Работа [152] вызвала большой поток исследований (см., например, комментарии к ней, помещенные в работах (Баренблатт [13], Вольперт [100]). Результаты данного параграфа были прежде всего стимулированы книгой (Маслов, Данилов, Волосов [177]). Но, в отличие от [177], а также приложения к [177], а именно (Маслов, Данилов, Волосов [178]), где был применен так называемый метод Хироты [228] для поиска точных решений, здесь интегрируемые случаи уравнения КПП были получены благодаря прямому использованию развитого автором классического метода преобразования переменных. При этом найдены все законы изменения F(и), при которых (1) допускает однофазные решения. Кроме того, к важному классу нелинейных эволюционных уравнений диффузионного типа, обобщающему (1), был применен метод точной линеаризации (Беркович [34]), который охватывает метод локализующего отображения (см. Маслов, Данилов, Волосов [178]).
