Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Найдем Mo из (11):
(1т dt
яі(т) x2(t)(a/xr2(i)dt + /3)2
Положим
(It _ dt Z10ч
7. Уравнение Бернулли как дифференциальный закон .
373
(13)
±і(т).. х2(т)хі(т) , ХЛТ) x2(t)
Mi
x%(t) ' x2(t)
X2(t) fc(l-iz)
Zl(T)
откуда
жі9т)х2(т)
XJ1(T)
X2 = Xi
Mb
Xi (І) Xi (t)
x2(t)
-М1(Л
/X1(T) =--— /XI +fc(l -u)
X1(T)
x2(t)
хі(і)х?(т)
/хі + fc(l — ^)
xl(t)' хГ3(і)хГ3(т) v
x2~4t)
-/X1.
(14)
Уравнению (14) можно придать иной вид, если учесть формулы (13) и (6). Так как
2-і/ 1-і/
= xi(t)/xi(t), 1, ^ ^ 2,
X2(Q
Xi (і)
то получим
x2(t)
X1 (і)
Mr)]
2-і/
Ml
2-і/
(т), v±\,v±2.
(15)
Тогда последние два слагаемые в правой части уравнения (14) примут вид
l-f 1-U + I (1/-1)(1/-3)
fc(l-^)[xi(T)]2-^ /X12"" +А[ц(т)]
(l/_l)(l/_3)
+1,-3 -2-7^-+"
Mi
I/-3
3-2і/
= k(2-v) [хі(т)]2- /хГ" Итак, доказано, что уравнение (5) преобразованием (13) приводится к
виду
І/-3
3-2і/
Mi(т) = -^Mi + fc(2 - V) [хі(т)] 2-" /X12^ X1J:)
(16)
Преобразование (7) в силу (12) примет вид
х\(т) , х\(т) (j,= ——/xi, dT=^—dt.
Mt) хЦъ)
С помощью (13) и (6) преобразуем (5):
374
Глава 6
Хотя при выводе уравнения (16) предполагалось, что v ф 1, v ф 2, но его можно использовать и для указанных значений v. При этом можно различить случаи:
а)Если^ ф 1, V ф 2, полагаем fc = — а/(1—v), при этом уравнение (16) является нелинейным уравнением Бернулли;
б) Если у = 1, полагаем к = =г-3/2Ьі, а уравнение (16) становится линейным уравнением вида
Xi (і) 3 (г)
в) Если г/ = 2, уравнение (16) становится линейным уравнением
// ч Х1 (т)
^(т> =--тттМі-
x1(Vj
Далее, заметим, что из графика дробно-линейной функции
2г/- 3 Z1 „ч
1/1 = ттзу (17)
легко прийти к следующим выводам.
Пусть 1 ^ f ^ 3 (значения v = 1 и г/ = 3 являются неподвижными точками преобразования (17)). Тогда можно считать, что и удовлетворяет (1) при выполнении условия (4). Если V Є (—оо, 1) или V G (3, +оо), то соответствующая задача
f + a0(t)r = -u(t)-j^, где и(V) удовлетворяет уравнению (5), преобразованием
T=IMoI-1^2P, сіт = UQClt, Uq = x\(t)Jx\(V)
переводится в себя с точностью до обозначения переменных, причем U1 удовлетворяет уравнению (16) при выполнении неравенства (4).
Утверждение теоремы 2 остается справедливым и в случае U1(V) ф 0. При этом вместо уравнения (16) получим уравнение (18):
?'i(r) = - f2ai + ^Ui + fc(2-i/)exp[-^2 j ai(r)dr] [Xl(r)]~v ••
(18)
На рис. 9, 10 показаны траектории движения материальной точки нестационарной и соответствующей стационарной задач Гильдена-Мещерского, масса точки изменяется по первому закону Мещерского.
7. Уравнение Бернулли как дифференциальный закон .
375
Рис. 9. Траектория изменения фазовых координат для нестационарной задачи с начальными условиями: ж(0) = 0,1, у(0) = О,1, х(0) = 0,1, jr(0) = 10,1,Q = = 0,1, /3 = 0,1, t Є [0, 1].
¦ 1.5 ~xv..
Рис. 10. Траектория изменения фазовых координат для соответствующей стационарной задачи (начальные условия: ?(0) = 1, г](0) = 1, ?(0) = 0,7)(0) = 1, т Є [0, 50]).
Примечания к гл. 6
Без претензий на полноту ниже даются некоторые библиографические примечания.
Как уже отмечалось ранее, систематическое исследование задачи двух тел переменной массы было начато Г. Н. Дубошиным еще в 1925 г.
Важная роль по постановке и изучению нестационарных задач принадлежит В. В. Радзиевскому [205], с именем которого связаны исследования по небесной механике излучающих тел. Фотогравитационный случай задачи ГМ рассматривался в работе (Беркович, Поляхова [74]).
Значительный вклад в нестационарную небесную механику внес также Б.Е. Гельфгат (1929-1976), который погиб в горах Памира летом 1976 г. в составе группы горных спасателей. В частности, им было проведено интегрирование задачи ГМ при ji(t) = at + b и ji(t) = (at + 6)~2. (см. Гельфгат [106, 107]). Ссылки на другие работы Б. Е. Гельфгата см. в статье (Беркович, Гельфгат [66]).
Лукьянов [167, 168] рассматривал уравнения движения задачи двух и многих тел с переменными массами.
Один из полных современных обзоров по динамическим системам с переменными массами принадлежит Г. К. Михайлову [183].
Изложению развитых автором математических методов по исследованию нестационарных задач посвящены также доклады автора (см. [43, 44, 59]). Важная роль при этом отводится преобразованию Нехвила (Nechvile [372]), играющего в небесной механике роль преобразования Куммера-Лиувилля.
Работы автора по задаче ГМ и некоторым другим нестационарным задачам небесной механики получили дальнейшее развитие (см., например, Беков [16-18]; при этом был использован метод автономизации).
Глава 7
Прямые методы нахождения инвариантных решений эволюционных
уравнений
«... я убежден, что именно специальные проблемы во всей их сложности составляют опору и стержень математики».
Герман Вейль
«Конкретная математика» — это и есть тот сухой остаток, который сохраняется при всех поворотах моды и составляет необходимую часть ремесла всякого математика.»
