Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
6.3. Обобщенные стационарные задачи двух тел и их приведение к задаче ГМ
6.3.1. Движение в сопротивляющейся среде. Пусть уравнение относительного движения имеет вид
г = —/j1q-^ — Gsr, до, а = const. (34)
6. Редукция к задаче Гильдена- Мещерского 369
2 и 4 у и j 4
Общее решение его есть
u(t)
(ae-at +?)2
Как мы сейчас убедимся, одно и то же уравнение может быть соответствующими подстановками приведено к задаче ГМ с различными выражениями для переменного коэффициента р(т). Так, полагая
г = (аехр(—at) + ?)p7 dr = exp(—at)(aexp(—at) + ?)~2dt, (35)
получим p(t) = po exp(2at)(a exp(-at) + ?), т.е. соответствующая задача ГМ будет иметь закон переменной «массы» вида
¦JL
' (1 - a?(aT + ?)f
А*і(т) = Po--, 2- (36)
В цитированной работе [375] был использован частный случай указанного закона (36).
С другой стороны, полагая
г = р, dr = exp(—at)dt, (37)
приведем (34) к виду
P' = рот-2 (38)
P
6.3.2. Движение в гравитирующей среде. Пусть уравнение движения имеет вид
„3
f = —/Uq-^- — br, b = const > 0 (39)
г
(возмущающая сила подчиняется закону Гука). Подстановкой
r = pcosVbt, dr =---dt (40)
cos2 \fbt
Заметим, что (34) в работе (Ni(a [375]) описывает стационарную задачу движения спутника в поле притяжения Земли-шара под действием сопротивления однородной атмосферы, пропорционального скорости спутника. Для поиска соответствующего преобразования KJI проинтегрируем уравнение Куммера-Шварца
/ \ 2
1 U 3 й\ 1 2
370
Глава 6
уравнение (39) приводится к виду
^ = -^0====4. (41)
л/1 + Ьт2 P6
6.3.3. Движение в сопротивляющейся и гравитирующей среде.
Уравнение относительного движения имеет вид
г = — fJ-o-j — 2ar — br, до, а, 6 = const. (42)
Таким уравнением, например, можно описывать движение спутника бесконечно малой постоянной массы вокруг неподвижного центра переменной массы, окруженного достаточно протяженной гравитирующей средой переменной плотности, которая оказывает сопротивление движению, пропорциональное скорости спутника. В этом случае так же возможно приведение к задаче ГМ, причем в зависимости от знака А = а2 — Ь различаем три случая:
а) А > 0; подстановкой
г = ехр(-(а + VA)t)p, dr = ехр(-2л/Ді)сЙ (43)
уравнение (42) приводится к виду
P' = -Дотг4. До = const, I = -(і +3-7=)- (44)
PJ z VA
б) A < 0; подстановкой
г = pexp(-at) cos a/—At, dr = -^ dt, (45)
cos2 \/—At
(42) приводится к виду
Vl - At2 P3
ff' = —//,реур(3д ^ агг±д\/—Лт) ^ . (46)
в) A = 0; подстановкой
г = exp(—at)p, dr = dt (47)
уравнение (42) приводится к виду
р" = -д0ехр(3ат)4- (48)
P6
7. Уравнение Бернулли как дифференциальный закон. .. 371
7. Уравнение Бернулли как дифференциальный закон изменения массы
Теорема 1. Интегрирование задачи (4.1), (4.10), (4.11) сводится к интегрированию задачи (4.1), где p,(t) подчиняется закону
? = — (2<2i + — )р, + /сехр((2г/ — 3) / a\dt)x\ рї,
—оо < V < +сх), (2)
о
a k = —а/(1 — v), если v ф 1 и к = + |&ъ если v = 1.
• Применим к множеству интегральных кривых уравнений (4.10) и (4.11), описываемому формулами (4.13)-(4.17), преобразование типа (4.28). При этом семейства кривых (4.13), (4.14) перейдут в (4.16), семейство (4.15) — в (4.17), а семейство (4.16) — в себя. Формулу (4.17) можно рассматривать как предельный переход от формулы (4.16). Следовательно, каков бы ни был закон изменения массы в задаче (4.1), (4.10), (4.11), интегрирование ее сводится к задаче (4.1) при законе (1). Действительно, общее решение уравнения (1) можно представить в виде
aidt)(ax2 + ?x1)1~vx1 , (3)
где введены обозначения
і ± к = -J^-—-, X2 = X1 jещ>(- j aidt)x~2dt, v ф 1.
\-v 2
Если V = 1, то в силу т. и. второго замечательного предела из формулы (3)
о
придем к (4.17), когда v —> 1 и обозначено к = + -Ъ\.»
Теорема 2. Интегрирование задачи (4.1), (1) при —оо < v < +оо сводится к интегрированию (4.1), (1) с
1 V «С 3. (4)
• Для упрощения выкладок, но без потери общности, положим а\ = 0. Уравнение (1) примет вид
? = --\fi-kx\ Зр,и, ь>ф1,
(5)
372
Глава 6
Общее решение уравнения (5) есть
1 / CXX2 +/3X1 Xi-L ,л f -2,. W1 ч /йч
= хТ I-Xi-J ' V ф 1, X2 = X1 X1 at, а = —к(1 - v), (6)
где ? — постоянная интегрирования, и есть
M = |jexp(+|&i / -|), I/ = 1, fc = +|бі, (6і)
,7 X1
где C1 — постоянная интегрирования.
Преобразование KJI для уравнения изменения массы (5) имеет вид
M = IMoI1^2Mi, dr = UQcIt (7)
и порождается преобразованием KJI
X=IMoT1^2C, dT = UQdt (8)
линейного уравнения 2-го порядка
X + a(t)x = 0 (9)
в себя. При этом новая независимая переменная т должна удовлетворять уравнению Куммера-Шварца 3-го порядка
{r,t} + a(r)r2=a(t), {т,і}=!!_!(^2. (10)
Как известно, общее решение уравнения (10) можно представить в виде
ау /Зі + аі/хГ2(і)сЙ
х\{т) ? + af x~2{t)dt
(И)
где a,/3,(?,/? — постоянные интегрирования, связанные соотношением a?i — a.\? = 1.
