Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
4ZH3- -EHZKib
а 6
Рис. 2
* Томас Байес (1702—1761) — английский математик.
22
I того чтобы по участку цепи прошел ток, нужно, чтобы и прибор А, и прибор В были исправны, т. е. нужно совмещение исправности приборов. Так как приборы работают независимо, то по формуле умножения вероятностей вероятность прохождения тока выразится произведением
P = P(A) P(B). (1.16)
Совершенно аналогично для трех последовательно соединенных и независимо работающих приборов А, В, С (рис. 2, б) вероятность прохождения тока по участку цепи выразится произведением
P = P(A) P(B) P(C), а для п приборов Ah A2, ..., An — произведением P = P(A1)-P(A2)... P(An).
В частности, если приборы однотипны, точнее говоря, если вероятности их исправности равны P(Ax) = P(A2) = ... = P(An) =р, то вероятность прохождения тока Р = р".
Можно поставить в некотором смысле обратную задачу. Предположим, что вероятность исправности первого прибора P(A) известна. После испытаний установили вероятность прохождения тока по всему участку Р. Тогда из формулы (1.16) можно найти вероятность исправности второго прибора P(B). Например, если P(A) = Q,9\ P= 0,72, то в силу (1.16) Р(В) = Р/Р(А) = 0,72/0,9 = 0,8.
2. Цепь реакций. Цепной называют химическую реакцию, которая представляет собой цепочку одинаковых звеньев. Звеном может быть одна, две, реже — несколько стадий. Например, звено
R + O2 RO2, RO2 + RH ROOH + R,
начавшись с появления свободного радикала углеводорода R, во второй стадии снова выделяет этот радикал и тем самым создает возможность повторения такого же звена.
На некотором этапе цепная реакция может оборваться. Причиной обрыва может служить захват свободного радикала стенкой сосуда, действие ингибитора и т. п. Таким образом, на каждом этапе существует некоторая вероятность р продолжения цепи и вероятность q=i~p обрыва цепи.
Какова вероятность, что цепная реакция содержит п звеньев? Для осуществления такой реакции нужно, чтобы п раз произошло продолжение реакции и после этого произошел обрыв. Так как процессы продолжения и обрыва независимы, то по формуле умножения вероятностей для Р(п) — вероятности появления цепи длины п, е. содержащей п звеньев,— можем написать
Р(п) = р-p... pq= pnq = р"(\ - р). п раз
23 3. Молекула полимера. Процесс полимеризации состоит в том, что к звену-мономеру присоединяется такой же мономер, к этому звену — еще один такой же мономер и т. д. Присоединение происходит с некоторой вероятностью р и, следовательно, не происходит с вероятностью <? = 1 - р. Так как каждое следующее присоединение происходит независимо от предыдущих, то вероятность образования молекулы, содержащей п мономеров, как и в предыдущем примере, вычисляется по формуле
Р(п) = р р...р¦ q = pnq ~ рп(\ - р).
п раз
4. Параллельное соединение.
Цепь последовательно соединенных приборов — один из крайних, наиболее простых типов соединений. Другим простейшим типом является параллельное соединение.
Рассмотрим участок цепи, содержащий два прибора А и В, соединенных параллельно (рис. 3). Предположим, что приборы работают независимо и P(A) — вероятность прохождения сигнала по прибору A, a P(B) — по прибору В. Например, сигнал проходит по прибору, если прибор исправен, и не проходит — в противном случае. Очевидно, сигнал пройдет, если будет исправен хотя бы один прибор. Таким образом, вероятность прохождения сигнала по участку цепи — это вероятность Р(А +В), где сумма А +В означает исправную работу хотя бы одного из приборов. Так как приборы работают независимо, то эту вероятность можно вычислить по формуле (1.13)
Р(А + В) = P(A) + P(B) - P(A)P(B). (1.17)
Например, если Р(Л) = 0,8, P(B) = 0,9, то
Р(А + В) = 0,8 + 0,9 - 0,8 • 0,9 = 0,98.
Можно поставить и обратную задачу. Предположим, что один из приборов — эталонный и вероятность его безотказной работы (т. е. вероятность прохождения по нему сигнала) известна. После испытаний установили вероятность прохождения сигнала по всему участку. Тогда из формулы (1.17) можно найти вероятность безотказной работы второго прибора. Например, если Р(А ) = 0,8, Р(А + В) =0,95, то подставив это в (1.17), будем иметь
0,95 = 0,8 + P(B) -0,8 • P(B).
Отсюда
P(B) = ^j = 0,75.
24 Если участок цепи состоит из п независимо работающих приборов, соединенных параллельно (рис. 4), и A1 означает, что сигнал прошел по /-му прибору, т. е. что i-й прибор исправен, то вероятность прохождения сигнала по участку — это вероятность исправной работы хотя бы одного прибора, т. е. вероятность суммы A, + A2 + ¦¦¦ +Л„. Следовательно (см. п. 2, формула (1.8)),
Р(АХ + A2 + ... + А„) = \~ P(Ax) P(A2) ... P(A11).
В частности, если все вероятности равны Р(АХ) = P(A2) =... = P(A) = р, то P(A,) = l-P(A,) = l-p = q и
P(Ax + A2 + ...+A„) = \-q».
Видно, что даже при малой вероятности р, т. е. при q, близкой к единице, выбирая достаточно большое п, можно сделать вероятность Р(Ах + ... + А„) достаточно близкой к единице.
Параллельно соединенными могут работать не только приборы. Вместо разобранной схемы можно рассмотреть систему химических реакций, участки нервной или кровеносной систем и т. п.
