Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
Замечание 2. Если события А и В несовместимы, то их произведение AB есть невозможное событие и, следовательно, P(AB) = 0, т. е. формула (1.4) является частным случаем формулы (1.12).
Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: P(A) = 0,7 и P(B) = 0,8. Найдем вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
Очевидно, события А и В совместимы и независимы. Поэтому
Р(А + В) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,7 + 0,8 - 0,7 0,8 = 1,5 - 0,56 = 0,94.
4. Формула полной вероятности.
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из п попарно несовместимых событий Bu B2, ..., В„, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
P(A) = P(Bl)Plh(A) + P(B2)Pbi(A) + ... +Р(Вп)РВп(А) (114)
(формула полной вероятности).
События Bu B2, ..., Bn будем называть гипотезами.
Доказательство. Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий Bu B2, ..., Bn, т.е. А = В\А + + B2A + ... + BnA, причем ввиду несовместимости событий Bu B2, ..., Bn события В\А, B2A, ..., BnA также несовместимы. Поэтому на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем
P(A) = P(B1A) + P(B2A) + ... + P(BnA) = = P(B1)Pb^(A) + P(B2)Pb2(A) + ... + P(BK)P8K(A).
Пример 1. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором — три белые и одна серая, в третьем — две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?
20 Обозначим Bx — выбор первого ящика, B1 — выбор второго ящика, B1 — выбор третьего ящика, А — извлечение белой мыши.
Так как все ящики одинаковы, то P(Bt) = P(B2) = P(B3) = I. Если выбран первый ящик, то Pb1(A) = 1. Аналогично РВг(А) = 1, Pg1(A) = 1. Наконец, по формуле (1.14) получаем
P(A)-I- 1 + 1.1 + і I-H
г(Л) - 3 3 + 3 4 + 3 2- 36 -
Пример 2. В санатории 30% пациентов — мужчины (M) и 70% — женщины (Ж). Болезни сердца среди мужчин встречаются в два раза чаще, чем среди женщин. Какова вероятность того, что наугал выбранный пациент сердечник?
Обозначив С —начилие заболевания сердца, запишем:
P(M) = 0,3, Р(Ж) = 0,7, РМ(С) = \, Рж(С) = \.
Подставляя эти числа в формулу полной вероятности (1.14), получим
P(C) = 0,3 • 1 + 0,7 ¦ 1 = 0,2 + 0,23 = 0,43.
Задача (смог над городом). На город примерно 100 дней в году дует ветер с севера и 200 дней в году — с запада. Промышленные предприятия, расположенные на севере, производят выброс вредных веществ каждый третий день, а расположенные на западе — в последний день каждой недели. Как часто город подвергается воздействию вредных выбросов? Иными словами, какова вероятность того, что в наугад выбранный день город будет накрыт промышленным смогом?
Обозначив С — ветер с севера, 3— ветер с запада и В — воздействие вредных выбросов на город, можем записать:
P(C) = Щ = Ц~ 0,27; Р(3) = Щ = 0,55;
Pc(B) = 1 - 0,33; P3(B) = 1 - 0,14. Отсюда по формуле полной вероятности
P(B) = P(C)Pc(B) + Р(3)Р3(В) = Щ ¦ і + Щ ¦ і = 0,09 + 0,08 = 0,17.
Таким образом, около двух месяцев в году город накрыт смогом.
5. Формулы Байеса. Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, осуществлено одно испыта-"ие, в результате которого произошло событие А. Спрашивается, как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) вероятности гипотез, т.е. величины P(Bk), к= 1, 2, ..., и?
Найдем условную вероятность Рл(Вк). По формуле (1.8) (см. п. 2) имеем
P(ABk) = P(A)Pa(B1i) = Р(Вк)РВк(А).
21 Отсюда
P(Bk)Psk(A)
Наконец, используя формулу полной вероятности, находим:
PABk)= ,*=1, 2, ...,л. (1.15)
YjP(Bi)Pb1(A)
7 = 1
Выражения (1.15) называют формулами Байеса*.
Пример. Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый рабочий изготовил 25% всех деталей, второй — 35%, третий — 40%. В продукции первого рабочего брак составляет 5%, в продукции второго — 4% и в продукции третьего — 2%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена вторым рабочим?
Введем обозначения для событий: А — выбранная для контроля деталь оказалась бракованной; Bu B2, Bi — эта деталь изготовлена соответственно первым, вторым и третьим рабочим. Имеем:
P(B1) = 0,25; P(B2) = 0,35; P(B3) = 0,40;
РВ,(А) = 0,05; РЯ2(Л) = 0,04; Pti(A) = 0,02. По формуле Байеса находим
р (В ч __0.35 0,04_ 28 и 0 4
г> 0,25 0,05 + 0,35 0,04 + 0,40 0,02 69
Как здесь, так и в ряде других примеров для облегчения вычислений можно использовать калькулятор.
§ 1.4. Случайные события в физике, химии, биологии
1. Цепь приборов. Рассмотрим участок электрической цепи, содержащий два последовательно соединенных прибора: А и В (рис. 2, а).
Предположим, что приборы работают независимо один от другого, и каждый из них может либо пропустить ток (прибор исправен), либо не пропустить (прибор неисправен). Обозначим P(A) и P(B) вероятности исправности приборов А и В соответственно. Для
