Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
Пример 4. В группе туристов 20% детей, причем 12% девочки. Наугад выбирают ребенка. Какова вероятность того, что это девочка? Какова вероятность того, что это мальчик?
Пусть А означает, что турист — ребенок, Ж—турист женского пола, M — мужского. Тогда по условию
P(A) = 0,2, Р(ЖА) = 0,12, P(MA) = 0,08. Следовательно,
Г (Ж) Р(ЖА) -т 0 6
п / »,Ч Р(Ш) 0'08 Л л
Pa(M) = = — = 0,4.
Задача (курение и случай заболевания легких). В группе обследуемых 1000 человек. Из них 600 курящих и 400 некурящих. Среди курящих 240 человек имеют те или иные заболевания легких. Среди некурящих легочных больных 120 человек. Являются ли курение и заболевание легких независимыми событиями?
Решение. Пусть событие А — обследуемый курит, событие В — обследуемый страдает заболеванием легких.
Тогда, согласно условию задачи,
pW--^mr = W рлв) = Ш = ! = о,4.
Так как 0,36*0,4, события А и В зависимы. Пример 5. Предположим, что вероятности встретить реку, загрязняемую постоянным фактором A-P(A), временным фактором B-P(B) и обоими факторами — P(AB), равны соответственно 0,4; ОД и 0,05.
Найдем:
1) вероятность того, что река, загрязняемая временным фактором, будет к тому же загрязнена и постоянным фактором, т.е. Рц(А)\
2) вероятность того, что река, загрязняемая постоянным фактором, будет еще загрязнена и временным фактором, т.е. РА(В).
Имеем, согласно (1.7):
Рв(А) -
ГвкА) - р(В) ,
откуда
^04) = ^ = 0,5.
Аналогично, используя формулу (1.6), находим Pa(B) = = 0,125.
Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий AuB равна произведению вероятностей этих событий
P(AB) = P(A)P(B). (1.9)
Действительно, если А и В — независимые события, то Pa(B)- P(B) и формула (1.6) превращается в формулу (1.9).
В случае независимых событий в совокупности эта теорема распространяется на любое конечное число их, т. е. имеет место равенство
Р(АХА2... An) = P(Ax)P(A1)... P(An). (1.10)
Замечание 1. Если события Ax, A2, ..., An независимы в совокупности, то и противоположные им события Ab A2, ..., An также независимы в совокупности.
Пример 6. Найдем вероятность одновременного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) — 0,7.
События А и В независимы, поэтому искомая вероятность
P(AB) = 0,7 • 0,8 = 0,56.
Пример 7. Вероятность выживания одной клетки в течение 20 минут P= 0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих клеток условиями находятся только что разделившиеся две клетки. Какова вероятность того, что через 20 минут они будут жизнеспособны?
Пусть событие А — первая клетка жизнеспособна через 20 мин, событие В— вторая клетка жизнеспособна через 20 мин. Будем
18 считать, что между клетками нет внутривидовой конкуренции, т. е. события А и В независимы. Событие, что обе клетки жизнеспособны, есть событие AB.
P(AB) = Q,! 0,7 = 0,49.
Пример 8. Пусть у нас перемешаны записи нейронной активности 10 клеток из одной области мозга (у 5 клеток зарегистрирована активность, характерная для клеток «внимания», у 5-другой вид активности) и 20 из другой области (у 15 — активность типа клеток «внимания», у 5 — другого вида). Выясним, зависимы ли события А — «выбранная наугад запись сделана в первой области» и В — на «выбранной наугад записи зарегистрирована активность, характерная для клеток «внимания»». Имеем
P(A) = 10/30 = 1/3; P(B) = 20/30 = 2/3;
P(AB) = 5/30= 1/6; P(AB)* P(A)P(B).
Следовательно, события А и В зависимы.
Теорема 3. Если события A1, A2, ..., An независимы в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из этих событий (т. е. вероятность суммы) вычисляется по формуле
Р(А\ +A1+ ... + An)= 1 - P(At)P(A2)... P(An). (1.11)
Доказательство. Событие А, ¦ A2... An состоит в том, что не произошло ни одно из событий А, (/=1, 2, ..., п). Оно противоположно событию, состоящему в том, что произошло хотя бы одно из событий Ai, т.е. сумме событий A, +A2 +...+ An. Поэтому, согласно формуле (1.5),
Р(А, + A2 + ... + An) + Р(А, ¦ A2 ... An)= 1,
откуда
Р(А, +A2 + ... + An)= 1 - Р(Д ¦ A1... An). Но с учетом замечания 1 (п. 2) и формулы (1.10) Р(А> ¦ A2... An) = P(A1)P(A2)... P(An), что и приводит к искомому равенству (1.11).
3. Теорема сложения вероятностей совместимых событий.
Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:
Р(А + В)= P(A)+ P(B)- P(AB). (1.12)
Доказательство. Пусть из всего числа п элементарных событий к благоприятствуют событию А, /—событию Вит — одновременно событиям А и В. Отсюда событию А + В благоприятствуют k + 1-m элементарных событий. Тогда
Р(А + В) = = Ii + Ii-T = P(A) +P(B) - P(AB).
Замечание 1. При использовании формулы (1.12) следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.
Для независимых событий
Р(А + В) = P(A) + P(B)- P(A)P(B)', (1.13)
для зависимых событий
Р(А + В) = P(A) + P(B) - P(A)Pa(B).
