Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
§ 1.3. Свойства вероятности
1. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А +В) = P(A)+ P(B). . (1.4)
Доказательство. Используем классическое определение вероятности. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно п, событию А благоприятствуют к элементарных событий, событию B-I элементарных событий. Так как А и В— несовместимые события, то ни одно из элементарных событий Uu U2, ..., Un не может одновременно благоприятствовать
14 и событию А, и событию jВ. Следовательно, событию А + В будет благоприятствовать к + 1 элементарных событий. По определению вероятности
P(A) = к/п, P(B) = Ifn, Р(А + В) = (к + 1)/п,
откуда и следует утверждение теоремы.
Совершенно так же теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместимых событий.
Следствие 1. Если события Ah A2, ..., An образуют полную группу попарно несовместимых событий, то сумма их вероятностей равна единице:
Р(Л)+ P(A2)+ ... + P(An) = L
Доказательство. Так как события Ah A2, ..., An образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них — достоверное событие, и, значит,
Р(Л+А2 + ...+Ап) = 1.
А так как эти события и несовместимые, то
Р(А, + A2 + ...+An) = Р(А,) +P(A2)+ ... + P(An),
что и приводит к искомому равенству.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий AuA равна единице:
P(A)+ P(A) = 1. (1.5)
Это следствие — частный случай следствия 1.
Пример. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?
Вероятность вынуть красный шар Р( ^) = 3/10, синий P(B) = 5/10. Так как события AuB несовместимы, то по доказанной выше теореме
Р(А+В) = Р(А)+Р(В) = 0,3 + 0,5 = 0,8.
2. Теорема умножения вероятностей.
Определение 1. Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет*. В противном случае события А и В называют зависимыми.
Пример 1. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А — вынут белый шар. Очевидно, P(A) = ¦-. После
* Несколько событий Au , A1 называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если вероятность появления любого из них не зависит от того, произошли какие-либо другие рассматриваемые события или нет.
15 первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В — во втором испытании вынут белый шар — также имеет вероятность P(B) = J, т. е. события А и В — независимые.
Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда, если произошло событие А, т. е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается и оказывается равно одной трети, если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается и становится равно двум третям.
Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А, в таких случаях события А и В — зависимые.
Определение 2. Пусть А и В— зависимые события. Условной вероятностью Pa(B) события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А уже наступило.
Так, в только что рассмотренном примере Pa(B) = ^.
Условие независимости события В от события А можно записать в виде
Pa(B) = P(B), а условие зависимости — в виде
Pa(B)* P(B).
Теорема 1. Вероятность произведения двух зависимых событий AuB равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:
P(AB) = P(A)Pa(B). (1.6)
Доказательство. Пусть из всего числа п элементарных событий к благоприятствуют событию А и пусть из этих к событий I благоприятствуют событию В, а, значит, и событию AB. Тогда
P(AB) = 1/п = к/п ¦ I/к= P(A)Pa(B),
что и доказывает искомое равенство (1.6).
Замечание. Применив формулу (1.6) к событию BA, получим
P(BA) = P(B)Pe(A). (1.6')
Так как AB=BA (§ 1.1, п. 2), то
Ps(A) = ^-, (1.7)
16 а сравнивая (1.6) и (1.6'), получаем равенство P(A)PA(B) = P(B)PB(A).
(1-8)
Пример 2. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А — вынут белый шар. Событие В — во втором испытании вынут белый шар. Рассмотрим тот случай, когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй раз белые шары? По формуле (1.6) имеем:
P(AB) ~ 1/2 ¦ 1/3=1/6.
Пример 3. В терапевтическом отделении больницы 70% пациентов — женщины, а 21% — курящие мужчины. Наугад выбирают пациента. Он оказывается мужчиной. Какова вероятность того, что он курит?
Пусть M означает, что пациент — мужчина, а К — что пациент курит. Тогда в силу условия задачи P(M) = 0,3, a P(MK) = 0,21. Поэтому с учетом формулы (1.6) искомая условная вероятность
P(MK) _ 0,21
