Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично уясняется смысл выражения «точка поставлена наудачу в квадрат со стороной 1 (или в прямоугольник площадью 1)»,—это значит, что вероятность попадания точки на любую часть этого квадрата (или прямоугольника) равна площади этой части.
В более сложных случаях (на плоскости) может оказаться, что при геометрической интерпретации получится такая картина: имеется фигура площадью s, и на нее наудачу ставится точка. Тогда вероятность попадания точки на часть этой фигуры, имеющую площадь q, оказывается равной q/s.
Аналогично в трехмерном случае (в пространстве) здесь берется отношение соответствующих объемов. Такое определение вероятности получило название геометрического.
Пример. В окружность вписан квадрат. В круг наудучу ставят точку. Какова вероятность того, что эта точка попадет в квадрат?
Отношение площадей квадрата и круга дает искомую вероятность:
2. Относительная частота. Статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности оказывается непригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной игральной кости выпадение ее различных граней не равновозможно.
В таких случаях используется так называемое статистическое определение вероятности.
Пусть произведено п испытаний, при этом некоторое событие А наступило т раз.
12 Определение 1. Число т называется абсолютной частотой (или просто частотой) события А, а отношение
называется относительной частотой события А.
Пример 1. При транспортировке из 10 000 арбузов испортилось 26. Здесь т = 26 — абсолютная частота испорченных арбузов, а
pmM = нШю = °'0026
относительная.
Результаты многочисленных опытов и наблюдений, многие из которых описаны, например, в работах [1—4], помогают заключить: при проведении серий из п испытаний, когда число п сравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением п — числа испытаний в сериях — относительная частота
Р*(А) = т/п
приближается к некоторому числу P(A), стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.
Пример 2. Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались равными 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484 (см. [4]). Эти частоты группируются около числа 0,5.
Определение 2 (статистическое определение вероятности). Вероятностью события А в данном испытании называется число P(A), около которого группируются значения относительной частоты при больших п.
В условиях только что приведенного примера указанная вероятность равна 0,5.
Пример 3. По данным шведской статистики, относительные частоты рождения девочек по месяцам одного года характеризуются следующими числами (расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473 (см. [2]). Эти частоты группируются около числа 0,482.
Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Имеется огромный опытный материал по проверке последнего утверждения. Приведем еще один такой пример с бросанием монеты (см. [2]).
Экспериментатор Число бросаний Число выпадений герба Относительная частота
Бюффон 4 040 2 048 0,5080
К. Пирсон 12 ООО 6 019 0,5016
К. Пирсон 24 000 12 012 0,5005
13 Здесь относительные частоты незначительно отличаются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше число испытаний. При 4040 испытаниях отклонение равно 0,008, а при 24 000 — 0,0005.
Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью в статистическом смысле, если число испытаний достаточно велико.
С этой точки зрения величина т = пр представляет собой среднее значение числа появления события А при п испытаниях.
При широких предположениях доказывается, что вероятности события в классическом и статистическом смысле совпадают между собой.
3. Аксиоматическое определение вероятности. В современных математических курсах вероятность определяется аксиоматически. При аксиоматическом построении теории вероятностей исходят из свойств вероятности событий, к которым применимо классическое или статистическое определение. Отдельные свойства вероятности известны из предыдущую изложения. Поэтому естественно принять следующие аксиомы.
Аксиома 1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число P(A), называемое его вероятностью.
Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.
Аксиома 3. Вероятность суммы попарно несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.
Последняя аксиома называется аксиомой сложения вероятностей.
Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.
Большая заслуга в аксиоматическом построении теории вероятностей принадлежит советскому математику А. Н. Колмогорову (1903—1987), работы которого положили начало созданию современной теории вероятностей как строгой математической науки [5],
