Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Баврин И.И. -> "Теория вероятностей и математическая статистика" -> 4

Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.

Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика — М.: Высшыя школа, 2005. — 160 c.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnostiimatstatistika2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 51 >> Следующая


Пример 1. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Искомое число сигналов А\ = 6 • 5 = 30.

Определение 2. Перестановками из л различных элементов называются размещения из этих л элементов по л.

Перестановки можно рассматривать как частный случай размещений при т = п, поэтому общее число перестановок из л элементов равно

Л = л(л-1)(л-2)...3-2-1 = л! (1.2)

Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Искомое количество трехзначных чисел Pi = 3! = 1 • 2 • 3 = 6.

Определение 3. Сочетаниями из л различных элементов по т элементов называются комбинации, составленные из данных л элементов по т элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Отметим разницу между сочетаниями и размещениями: в первых не учитывается порядок элементов.

Обозначим через С™ число сочетаний из л элементов по т.

Рассмотрим все допустимые сочетания элементов AaiAa2 ... Aam. Делая в каждом из них ml возможных перестановок их элементов,

9 очевидно, получим общее число рамещений из п элементов по т. Таким образом, С™ /я! = Л"; отсюда

Cm - А" - "("-')-("-"1 + 1) Cl 3)

" т\ ml ¦ У ¦ /

Формулу (3) можно представить также в виде

Cm — я!

т\(п - т)\'

СЦ обладает очевидной особенностью

Cm _ s~*n-m

п ~ ^rt >

которая также верна и при т = 0, если принять С° = 1.

Этой особенностью удобно пользоваться, когда т > у.

Числа С" являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона (р + q)" = р" + Cl„pn~lq + Clpn'2q2 +... +

и поэтому часто называются биномиальными коэффициентами.

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Искомое число способов

Г2 _ ж _ 9_10 _ 4, Чо - 218! ~ 2 ~

При решении задач комбинаторики можно использовать следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый элемент А может быть выбран из совокупности элементов т способами, а другой элемент В — п способами, то выбрать либо А, либо В можно т + п способами.

Правило произведения. Если элемент А можно выбрать из совокупности элементов т способами и после каждого такого выбора элемент В можно выбрать п способами, то пара элементов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана тп способами.

Эти правила справедливы и для любого конечного числа элементов.

Приведем, наконец, примеры применения формул комбинаторики к нахождению вероятностей событий.

Пример 4. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

Две последние цифры можно набрать Aj0 способами, а благоприятствовать событию M (цифры набраны правильно) будет только один способ. Поэтому

^ = 4 = 70 = 9^0'011-

Пример 5. Партия из 10 деталей содержит одну нестандартную. Какова вероятность, что при случайной выборке 5 деталей из этой партии все они будут стандартными (событие Л)?

ю Здесь число всех случайных выборок п = С,50, а число выборок, благоприятствующих событию А, есть т = C95. Таким образом, искомая вероятность

P(A)--I-JL IHI-JL-I = OS

' с,5,, " 54' 10' " ю " 2

Пример 6 (Задача о Генуэзской лотерее*). Разыгрывается 90 номеров, из которых выигрывают пять. По условию можно ставить ту или иную сумму на любой из 90 номеров или на любую совокупность двух, трех, четырех или пяти номеров. Если участник лотери ставил на один номер, то он получал при выиграше в 15 раз больше ставки; если на два номера (амбо), то в 270 раз больше; если на три номера (терн), то в 5500 раз больше, если на четыре номера (катерн) — в 75 000 раз больше; если на пять номеров (квин) — в 1 000 000 раз больше, чем ставка. Какова вероятность выигрыша в каждом из указанных пяти случаев?

В первом случае вероятность выигрыша оказывалась

Й = — = — = — = 0 055

М С'„ 90 18

во втором, третьем, четвертом и пятом случаях вероятности выигрыша были соответственно равны:

-S- = 5 4 = -2- =* 0 0025

С920 90 89 801

= 5 4 3 —1— ^gg J0-S 90 89 88 11748 ' '

5 4 3 2 =-!-= 19 ю-6

Qfl sq Kfi К7 ^linifi ''' '

Ps

Pl =
Pi <J I <J Il
Pa = С54 _ C4 ^ 90
- Я
C5 ^ 90 90

5 4 3 2 1 =_3_= 23 IO-8

SQ Ofi ОТ CC AI (МО OCfi 1и '

§ 1.2. Геометрическая вероятность. Статистическое и аксиоматическое определения вероятности

1. Геометрическая вероятность. Классическое определение вероятности предполагает, что число всех элементарных событий конечно. Но на практике часто встречаются опыты, для которых множество таких событий бесконечно. Например, пусть на отрезке [0; 1] числовой прямой ставят наудачу точку. Что подсказывает нам интуиция о вероятностях событий «точка попала на правую половину

* В XVlI веке в Генуе пользовалась большим успехом знаменитая лотерея В XVIIl столетии она разыгрывалась также во Франции, Германии и других странах

11 отрезка» и «точка попала на левую половину отрезка»? Поскольку точка ставится наудачу, то естественно считать эти события равновероятными — вероятность каждого 0,5 (поскольку это противоположные события). Ну, а если мы разделим отрезок на 10 равных отрезков и рассмотрим события «точка попала на левый отрезок», «точка попала на второй слева отрезок», ..., «точка попала на правый отрезок»? Это опять равновероятные события. А вероятность каждого из них оказывается равной 0,1, поскольку это совокупность всех элементарных событий нашего опыта. Поставим теперь вопрос: «Какова вероятность попадания точки на отрезок [0,3; 0,7]?» Поскольку этому событию благоприятствуют четыре из указанных выше элементарных события, то искомая вероятность равна 0,4, т. е. длине отмеченного отрезка. В общем случае смысл выражения «точка поставлена наудачу на отрезок длины 1» состоит в том, что вероятность попадания точки на часть этого отрезка длины I равна этому числу I (если вместо отрезка [0; 1] взять отрезок [0; sj, s>l, то искомая вероятность будет равна l/s).
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 51 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed