Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
My(X)=1^xMy),
і = i
где р(х,\у) — условная вероятность равенства X= х, при условии, что Y= У-
90 Для непрерывных величин
My(X) = ]хя»(х|у)Л,
где ф(дс|у) — плотность вероятности случайной непрерывной величины X при условии Y= у.
Условное математическое ожидание My(X) есть функция от у: My(X) =f(y), которую называют функцией регрессии величины X на величину У.
Аналогично определяются условное математическое ожидание случайной величины У и функция регрессии У на X:
Mx(Y)=g(x).
Уравнение X= f(у) (y = g(x)) называется уравнением регрессии X на Y(Yна X), а линия на плоскости, соответствующая этому уравнению, называется линией регрессии.
Линия регрессии Уна X (X на У) показывает, как в среднем зависит У от X (X от У).
Пример 1. ПустьХи /независимы, M(X) = a, M(Y) = Ь. Тогда
= Мх(У) = M(Y) = A; f(y) = My(X) = M(X) = а. Линии регрессии изображены на рис. 12.
У Регрессия 'Хна Y
Ъ (в;Ь)
\
Регрессия К на X
0 a
Рис. 12
Пример 2. X и У связаны линейной зависимостью: Y= AX+ В, А* 0. Тогда функция регрессии Уна X будет иметь вид
g(x) = Мх( Y) = М( Ax+ В) = Ax + В.
Так как X = -7 (У - В), то функция регрессии X на У имеет вид
f(y) = My(X) = M - В)] = 1 (у - В).
Значит, линия регрессии Хна У: дс=(у- В)/А, т. е. у = Ax+ В. Таким образом, в случае линейной зависимости X и У линии регрессии X на У и Y на X совпадают, и эта линия прямая.
91 2. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.
Для характеристики корреляционной зависимости между вели чинами используются коррекляционный момент и коэффициен корреляции.
Определение 2. Корреляционным моментом Iixy случайных ве личин X и Y называют математическое ожидание произведени; отклонений этих величин
^yxy = М[(Х-M(Xm-M(Y))I
Для вычисления корреляционного момента дискретных ВЄЛИЧИІІ используется выражение
^ = XX(Xi-M(X)Xyj-M(Y))Pix,, У]), (3.12;
,=1/=]
а для непрерывных — выражение
IIxy = J J(x - M(X)Xy - M(Y)) fix, у) dxdy. (3.13)
Замечание. Корреляционный момент Hxy может быть переписан в виде
цху = MiXY) -MiX)MiY). (3.14)
Действительно, используя свойства математического ожидания (см. §§ 2.2; 2.6), имеем
M[iX - MiX)XY - MiY))] =
= MiXY - YMІХ) - XMiY) + MiX)MiY)) =
= MiXY) - M(Y)MiX) - MiX)MiY) + MiX)MiY) =
= MiXY)-MiX)MiY).
Теорема. Корреляционный момент двух независимых случайных величин XuY равен нулю.
Доказательство. Согласно замечанию
Iixy = MiXY) - MiX)MiY),
а так как X и Y независимые случайные величины, то (см. §§ 2.2. 2.6)
MiXY) = MiX)MiY)
и, значит, Hxy = 0.
Из определения корреляционного момента следует, что он имее размерность, равную произведению размерностей величин X и У т. е. его величина зависит от единиц измерения случайных величин Поэтому для одних и тех же двух величин величина корреляцион ного момента может иметь различные значения в зависимости о
92 того, в каких единицах были измерены величины. Для устранения этого недостатка условились за меру связи (зависимости) двух случайных величин X vi Y принять безразмерную величину
^=?. (3-15)
где Ox = O(Ar), оу = о(К), называемую коэффициентом корреляции.
Пример 1. Пусть двумерная дискретная случайная величина (X, Y) задана законом распределения:
xV У X 1 2 3
1 1 1
1 18 12 36
1 1 1
2 9 6 18
3 1 1 1
6 4 12
Найдем корреляционный момент и коэффициент корреляции случайных величин X и Y.
Решение. Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений X:
Р(Х=х,) = \, Р(Х=х2) = \, Р(Х=х}) = \.
Отсюда закон распределения X:
X 1 2 3
и, значит, Af(Ar) = 1-I + 2 -J + 3-I = | = 2І.
Сложив же вероятности по столбцам, найдем вероятности возможных значений Y:
Р(У=у,) = 1, P(Y = у2) = j, P(Y = у,) = }.
Отсюда закон распределения Y:
Y 12 3
и, значит, M(Y) = l | + j + 3-I = -^ = l|.
93 Наконец, применяя формулу (3.12), получим:
[ З >6 18 ЗІ 6/ 6 3 6 4 3 6 12 " ЗІ 108 72 216/
1 І 5 1 7 \ 2 [ 5 1 7 \ 4Л1Л2ЛЛ - ЗІ" 54 + 36 +Tos)+ З І" 36 + 24 + 72) = -Т °-3 3 0 =
Следовательно, и коэффициент корреляции /Vv = 0.
Пример 2. Пусть система случайных величин (X, У) имеет закон распределения с плотностью
^ _ Iy sin (х + у) в квадрате s{o«x«y, 0«у«у}, [О вне S.
Найдем корреляционный момент и коэффициент корреляции случайных величин X и У.
Решение. Плотности вероятности составляющих X и У найдем по формулам (3.8) и (3.8').
Jt
fi(x) = yjsinU + y)^ = -ycos(x + y)|2 = у (sin *+ cosx),
о
к 2
/2 OO = у Jsin (х + y)dx = у (sin у + cosy)
о
и, значит,
л 2
M(X) = у J X (sin X + cos х) dx,
о
IC 2
M(Y) = IJy(siny + cosy)</y.
о
Далее имеем
JI
2 H 2
yJx(sinx + cosjO</x = у [х (sin X — cos х)] J — у J (sin X — cos х) dx =
о " Jv 0
= f + i(sinx + cosx)|J=f. Следовательно, M(X) = M(Y) =
94 Найдем теперь \ixy. Согласно формуле (3.13), имеем
я iL
= {- f - f JsinU + y)*:.
Но
It к
2 і T
[ [у - |)sin (х + у) dy = - [(у - -j) cos (х + У)] ' + f cos(* + У> <*У =
