Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
P(A) = т/п.
6 Пример 3. Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты. Очевидно, событие А — выпадение герба — и событие В — выпадение цифры — образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий для данного испытания. Значит, здесь п = 2. Событию А благоприятствует лишь одно собы-
тие
само А, т.е. здесь т= 1. Поэтому P(A) = -.
П р и м ер 4. Очевидно, что при одном бросании игральной кости (вероятность выпадения какой-либо цифры от 1 до 6 будет равна
P(U,) = ±, i=l, 2,
6.
Пример 5. Найдем вероятность того, что при однократном бросании игральной кости выпадет число очков, делящееся на 2 (событие А).
Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятствующих элементарных событии 3 (выпадение 2, 4 и 6). Поэтому
Пример 6. При составлении команды космического корабля возникает вопрос о психологической совместимости отдельных членов экипажа. Допустим, что надо составить команду из трех человек: командира, инженера и врача. На место командира есть три кандидата: щ, а2, а^, на место инженера — четыре кандидата: Ьи Ьг, b-i, bi, на место врача —два кандидата: сь C1. Проведенная проверка показала психологическую несовместимость командира а2 с инженерами 63, 64 и с врачом с2, а также инженера Ь2 с врачом с2. Будем для простоты считать, что без учета фактора несовместимости все варианты составления команды равновозможны. Какова в этом случае вероятность того, что будет составлен экипаж, все члены которого психологически совместимы друг с другом?
Представим все варианты команды, при которых члены экипажа совместимы друг с другом в виде «дерева» (рис. 1). Число ветвей этого дерева, т. е. исходов, благоприятствующих событию А, равно 16, а общее число возможных комбинаций по правилу произведения равно 4 ¦ 3 ¦ 2 = 24. Искомая
вероятность P(A) = H = -J.
Задача (Вероятности рождения мальчиков и девочек). Будем предполагать, что случаи рождения мальчика и девочки — равновозможные события. Рис. 1
7 Пусть в семье двое детей. Какова вероятность, что оба ребенка — мальчики? Если известно, что один мальчик, какова вероятность, что оба ребенка — мальчики?
На первый вопрос ответить нетрудно. Имеется четыре равно-возможных исхода: MM, МД, ДМ, ДД (Л/—мальчик, Д — девочка). Исходы МД и ДМ различны, так как в первом из них сначала родился мальчик, а потом девочка, во втором — наоборот. Из этих четырех исходов только один MM благоприятствует нашему событию. Отсюда следует, что P(MM) = ^.
Если дополнительно известно, что один ребенок — мальчик, то событие ДД исключается. Из трех равновозможных событий ММ, МД, ДМ по-прежнему только одно MM благоприятствует желаемому исходу. Поэтому P(MM) = у.
Если известно, что старший ребенок — мальчик, то исключаются исходы ДМ и ДД В этом случае P(MM) = j.
Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все п элементарных событий, т. е. т = п и, следовательно,
Р(А) = т/п = п/п = \.
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
В самом деле, невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т.е. т = 0, откуда
Р(А) = т/п = О/и = 0.
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. Поэтому в этом случае 0<т<п и, значит, 0<т/п<1. Следовательно, 0 </>(/!) <1-
Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
0< Р(А)< 1.
Замечание. Из определения вероятности следует, что элементарные события являются равновероятными, т. е. обладают одной и той же вероятностью.
4. Применение элементов комбинаторики к нахождению вероятностен.
Комбинаторика — раздел математики, занимающийся вопросами о том, сколько комбинаций определенного типа можно получить из данных предметов (элементов).
8 Как при решении задач с использованием классического определения вероятности, так и в дальнейшем могут нам понадобиться некоторые определения и формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.
Определение 1. Размещениями из л различных элементов по т элементов (т < л) называются комбинации, составленные из данных л элементов по т элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Например, из трех элементов а, Ь, с можно составить по два элемента следующие размещения:
ab, ас, be, ba, са, cb.
Число А™ размещений из л элементов а,, а2, ..., а„ по т равно А: = и(я-1)(и-2)...(/1-1Я + 1). (1.1)
Пусть A01A02... аат (1 < а * < л; к = 1, ..., т) — всевозможные размещения, содержащие т элементов. Будем эти размещения строить последовательно. Сначала определим ащ — первый элемент размещения. Очевидно, из данной совокупности л элементов его можно выбрать л различными способами. После выбора первого элемента A01 для второго элемента fl„2 остается л - 1 способов выбора и т. д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому общее число размещений равно указанному произведению (1.1).
